Zrozumienie testu dla proporcji: obszar krytyczny, rzeczywisty poziom α, przedział prognozy (forecast interval)

W skrócie

Przy H₀ X ma rozkład dwumianowy z n i p₀. Z poziomu istotności α kafelek wyznacza obszar krytyczny K, czyli liczby sukcesów, przy których H₀ jest odrzucana. Przykład n = 100, p₀ = 0,5, α = 5%, prawostronnie: K = {59, …, 100}. Przy co najmniej 59 sukcesach H₀ jest odrzucana.

Obszar krytyczny K i rzeczywiste α

• Prawostronny (H₁: p > p₀): K = {g, …, n} z najmniejszym g, dla którego P(X ≥ g) ≤ α. Lewostronny (H₁: p < p₀): K = {0, …, k} z największym k, dla którego P(X ≤ k) ≤ α. Dwustronny (H₁: p ≠ p₀): obie strony po α / 2.
• Rzeczywiste α to prawdopodobieństwo, z jakim K występuje przy H₀. Nigdy nie jest większe niż wybrane α, ale często jest mniejsze, ponieważ X przyjmuje tylko wartości całkowite (w przykładzie 4,43% zamiast 5%). Statable zawsze je pokazuje.
• Jeśli K jest puste, pojawia się komunikat: „Przy tym n H₀ nigdy nie może zostać odrzucona na poziomie α.” Zdarza się to przy małym n i małym α.

Wartość p i decyzja

Jednostronnie p = P(X ≥ x) lub P(X ≤ x). Dwustronnie Statable podwaja mniejszą wartość jednostronną: p = min(1; 2 · min(P(X ≤ x), P(X ≥ x))). Dzięki temu zawsze zachodzi: x leży w K dokładnie wtedy, gdy p ≤ α. Decyzja i wartość p nigdy sobie nie przeczą. R (binom.test) oblicza wartość dwustronną inaczej (suma wszystkich prawdopodobieństw, które są co najwyżej tak duże jak P(X = x)); dla p₀ ≠ 0,5 wartość p może być tam mniejsza. Przykład n = 40, p₀ = 0,4, x = 7: podwojenie 0,0041, binom.test 0,0033. Dla p₀ = 0,5 oba są takie same.

Nieodrzucenie nie oznacza, że H₀ jest prawdziwa

Jeśli x nie leży w K, zdanie brzmi: „Dane dają zbyt mało dowodów, że p różni się od p₀.” To nie jest dowód, że H₀ jest prawdziwa. „Istotny statystycznie” ma sens tylko razem z poziomem, na którym się to mówi.

Błąd drugiego rodzaju i moc testu

Błąd pierwszego rodzaju: H₀ jest odrzucana, choć jest prawdziwa; jego prawdopodobieństwo to rzeczywiste α. Błąd drugiego rodzaju: H₀ nie jest odrzucana, choć w rzeczywistości obowiązuje inna proporcja p₁; jego prawdopodobieństwo to β = P(X ∉ K | p₁). Moc testu 1 − β = P(X ∈ K | p₁) to prawdopodobieństwo wykrycia różnicy. Przykład n = 100, p₀ = 0,5, prawostronnie, p₁ = 0,6: β = 37,75%, moc testu 62,25%.

Przedział prognozy (forecast interval) czy przedział ufności?

Przedział prognozy (forecast interval) obowiązuje, gdy p jest znane: podaje zakres [a; b] liczby sukcesów, która występuje z prawdopodobieństwem co najmniej 1 − α (wnioskowanie w przód). Jest odpowiednikiem dwustronnego K. Przykład n = 100, p₀ = 0,5, 5%: [40; 60], czyli proporcje od 0,40 do 0,60. Przedział ufności obowiązuje, gdy zaobserwowano x: podaje zakres dla p (wnioskowanie wstecz; kafelek „Obliczanie ze statystyk podsumowujących”). Obok dla porównania pokazane jest przybliżenie sigma μ ± 1,96 σ.

Dla specjalistów

Wszystkie liczby to dokładne sumy dwumianowe. K jest porównywane z α z tolerancją 1e-7 (tak jak robi to R przy równości, na przykład dokładnie P = 0,05). Dwustronna wartość p to metoda „centralna” (podwojenie); zgadza się z przedziałem Cloppera-Pearsona i jest dostępna w pakiecie R exactci jako binom.exact(…, tsmethod = "central"). Sprawdzone względem R (qbinom, pbinom, dbinom) i pętlą po wszystkich obszarach krytycznych, przykłady z druku: kształcenie nauczycieli w Badenii-Wirtembergii (chipy pamięci, kostki, stołówka).

Źródła

• Fay, M. P. (2010): Two-sided exact tests and matching confidence intervals for discrete data. The R Journal 2(1), 53-58.
• KMK: standardy edukacyjne z matematyki, ogólne uprawnienie do podjęcia studiów (2012), idea przewodnia „dane i przypadek”; Lösungswege 8 (ÖBV, austriacki podręcznik), rozdział 7: jednostronny i dwustronny test hipotezy z rozkładem dwumianowym.
• Kształcenie nauczycieli w Badenii-Wirtembergii: testowanie hipotez (stochastyka).