Comprender la prueba de una proporción: región de rechazo, α real, intervalo característico

En resumen

Bajo H₀, X sigue una distribución binomial con n y p₀. A partir del nivel de significación α, la tarjeta determina la región de rechazo K, es decir, los números de éxitos con los que se rechaza H₀. Ejemplo n = 100, p₀ = 0,5, α = 5 %, unilateral derecha: K = {59, …, 100}. Con al menos 59 éxitos se rechaza H₀.

Región de rechazo K y α real

• Unilateral derecha (H₁: p > p₀): K = {g, …, n}, con el menor g para el que P(X ≥ g) ≤ α. Unilateral izquierda (H₁: p < p₀): K = {0, …, k}, con el mayor k para el que P(X ≤ k) ≤ α. Bilateral (H₁: p ≠ p₀): ambos lados con α / 2 cada uno.
• El α real es la probabilidad con la que ocurre K bajo H₀. Nunca supera el α elegido, pero a menudo es menor, porque X solo toma valores enteros (4,43 % en lugar de 5 % en el ejemplo). Statable siempre lo muestra.
• Si K está vacía, aparece: «Con este n, H₀ nunca se puede rechazar con el nivel α». Esto ocurre con n pequeña y α pequeño.

Valor p y decisión

Unilateral, p = P(X ≥ x) o P(X ≤ x). Bilateral, Statable duplica el valor unilateral menor: p = min(1; 2 · min(P(X ≤ x), P(X ≥ x))). Así, x está en K exactamente cuando p ≤ α. La decisión y el valor p nunca se contradicen. R (binom.test) calcula la prueba bilateral de otra manera (suma de todas las probabilidades que son como máximo tan grandes como P(X = x)); con p₀ ≠ 0,5, el valor p puede ser menor allí. Ejemplo n = 40, p₀ = 0,4, x = 7: duplicando 0,0041, binom.test 0,0033. Con p₀ = 0,5 ambos coinciden.

No rechazar no significa que H₀ sea cierta

Si x no está en K, la frase dice: «Los datos aportan demasiado poca evidencia de que p sea distinta de p₀». No es una prueba de que H₀ sea cierta. «Significativo» solo vale junto con el nivel con el que se dice.

Error de tipo II y potencia

Error de tipo I: H₀ se rechaza aunque sea cierta; su probabilidad es el α real. Error de tipo II: H₀ no se rechaza aunque en realidad sea cierta otra proporción p₁; su probabilidad es β = P(X ∉ K | p₁). La potencia 1 − β = P(X ∈ K | p₁) es la probabilidad de encontrar la diferencia. Ejemplo n = 100, p₀ = 0,5, unilateral derecha, p₁ = 0,6: β = 37,75 %, potencia 62,25 %.

¿Intervalo característico o intervalo de confianza?

El intervalo característico se aplica cuando p es conocida: da el rango [a; b] del número de éxitos que ocurre con una probabilidad de al menos 1 − α (inferencia hacia delante). Es la contrapartida de la K bilateral. Ejemplo n = 100, p₀ = 0,5, 5 %: [40; 60], es decir, proporciones de 0,40 a 0,60. El intervalo de confianza se aplica cuando se observa x: da el rango de p (inferencia hacia atrás; tarjeta «Calcular a partir de valores resumidos»). La aproximación sigma μ ± 1,96 σ se muestra al lado a modo de comparación.

Para especialistas

Todos los números son sumas binomiales exactas. K se compara con α con una tolerancia de 1e-7 (como hace R en caso de igualdad, por ejemplo P = 0,05 exactamente). El valor p bilateral es el método «central» (duplicar); coincide con el intervalo de Clopper-Pearson y está disponible en el paquete de R exactci como binom.exact(…, tsmethod = «central»). Comprobado con R (qbinom, pbinom, dbinom) y con un bucle sobre todas las regiones de rechazo, ejemplos impresos: formación del profesorado de Baden-Wurtemberg (chips de memoria, dados, comedor).

Fuentes

• Fay, M. P. (2010): Two-sided exact tests and matching confidence intervals for discrete data. The R Journal 2(1), 53-58.
• KMK: estándares educativos de matemáticas, acceso general a la universidad (Abitur, 2012), idea directriz «datos y azar»; Lösungswege 8 (ÖBV, libro de texto austriaco), capítulo 7: contraste de hipótesis unilateral y bilateral con la distribución binomial.
• Formación del profesorado de Baden-Wurtemberg: contraste de hipótesis (estocástica).