Calcular a partir de valores resumidos: intervalo, prueba y tamaño de muestra

En resumen

Si solo se dispone de los números (un número x de n, o media, desviación típica y n), esta tarjeta calcula el intervalo de confianza y la prueba. También responde qué tamaño tiene que tener la muestra para un intervalo de una anchura deseada.

Proporción

• El intervalo es el intervalo de puntuación de Wilson sin corrección de continuidad. La prueba es la prueba de puntuación (score test), z = (p̂ − p₀) / √(p₀ (1 − p₀) / n); el intervalo y la prueba van juntos (dualidad). El intervalo es siempre bilateral; la dirección de la prueba (izquierda, derecha, bilateral) solo afecta al valor p.
• Si se introduce p̂ en lugar de x, Statable calcula x = p̂ · n. Si el resultado está en un número entero (0,07 · 100 = 7), se redondea a él; en caso contrario, x se mantiene y aparece una nota. No se redondea nada en silencio.
• Si n · p₀ · (1 − p₀) es como máximo 9, la aproximación normal de la prueba es burda. La prueba exacta con la distribución binomial está en la tarjeta «Comprender la prueba de una proporción». Con los mismos números (7 de 40, p₀ = 0,4) ambas dan valores p distintos: 0,0037 con la aproximación y 0,0041 con la prueba exacta duplicando.

¿Por qué difiere el libro de texto?

Muchos libros de texto usan la fórmula de aproximación p̂ ± z · √(p̂ (1 − p̂) / n) (Wald). Es imprecisa con n pequeña o con proporciones cercanas a 0 y 1, e incluso puede superar 1. Wilson resuelve exactamente la desigualdad de partida. Ejemplo 7 de 40, 95 %: fórmula del libro de texto 0,0572 a 0,2928, Wilson 0,0875 a 0,3195. El número del libro no está mal calculado, sino que es una aproximación. (La función prop.test de R aplica por defecto una corrección de continuidad y da aquí 0,0789 a 0,3336; Statable calcula sin ella.)

Media

Error típico SE = s / √n, t = (x̄ − μ₀) / SE con n − 1 grados de libertad, intervalo x̄ ± t · SE y d de Cohen = (x̄ − μ₀) / s. Como se desconoce la desviación típica de la población, se usa t y no z. n menor que 2 y s = 0 están bloqueados, porque t y d no estarían definidos.

Tamaño de muestra para una anchura deseada

• Proporción: n = ⌈z² · p (1 − p) / d²⌉, media: n = ⌈(z · σ / d)²⌉, con d como semianchura («± d»). Siempre se redondea hacia arriba. Algunos libros dan la longitud completa L del intervalo; entonces d = L / 2.
• Si no tienes conocimientos previos, deja p = 0,5: es el peor caso, ninguna otra p necesita más personas. Ejemplos al 95 %: ± 5 puntos porcentuales 385, ± 3 puntos porcentuales 1068, ± 2 puntos porcentuales 2401, ± 1 punto porcentual 9604.
• La fórmula es la estimación sencilla de n. Después el intervalo de la muestra ya obtenida se calcula con Wilson. Para una media, t necesita algunas personas más que z.

Tasas a partir de eventos y tiempo-persona

• La opción «Una tasa» calcula, a partir del número de eventos y del tiempo-persona de cada grupo, la tasa (eventos por tiempo-persona) con el intervalo de Poisson exacto según Garwood, la razón de tasas de cada grupo frente a un grupo de referencia y la diferencia de tasas. La persona elige la unidad de tiempo (días, semanas, meses, años); Statable nunca la adivina. Las tasas se muestran por 1000 personas-año (seleccionable).
• La razón de tasas es exacta (distribución binomial condicional como en poisson.test de R), la diferencia es un intervalo de Wald (una aproximación, incierta con menos de unos 10 eventos por grupo). Si el grupo de referencia no tiene ningún evento, la razón no está definida; Statable lo dice y muestra el valor p exacto, y la diferencia se mantiene. Con más de dos grupos, los valores p no se ajustan por comparaciones múltiples.
• Una tasa no es un riesgo: no es la proporción de personas que tuvieron el evento. El cálculo supone dispersión de Poisson y una tasa que se mantiene igual durante el tiempo de observación; si los recuentos varían más, los intervalos son demasiado estrechos (usa entonces la regresión de recuentos con distribución binomial negativa). El tiempo-persona es la suma del tiempo de observación real, no el número de personas por una duración media.

Para especialistas

Comprobado con R: prop.test(x, n, p, conf.level, correct = FALSE) para el intervalo y el valor p, t.test para la media, el intervalo y p, qnorm para los tamaños de muestra. Para x = 0 el límite inferior es exactamente 0, para x = n el límite superior es exactamente 1. Con p̂ = 0,5 el intervalo de Wilson nunca es más ancho que el de Wald.

Fuentes

• Wilson, E. B. (1927): Probable inference, the law of succession, and statistical inference. Journal of the American Statistical Association 22, 209-212.
• Brown, L. D., Cai, T. T. & DasGupta, A. (2001): Interval estimation for a binomial proportion. Statistical Science 16(2), 101-133.
• Lösungswege 8 (ÖBV, libro de texto austriaco), capítulo 7: intervalo de confianza y tamaño de muestra de un intervalo de confianza.