Calculer à partir de valeurs résumées : intervalle, test et taille d’échantillon

En bref

Si seuls les chiffres sont disponibles (un nombre x sur n, ou la moyenne, l’écart type et n), cette vignette calcule l’intervalle de confiance et le test. Elle répond aussi à la question de la taille que doit avoir l’échantillon pour un intervalle d’une largeur souhaitée.

Proportion

• L’intervalle est l’intervalle du score de Wilson sans correction de continuité. Le test est le test du score, z = (p̂ − p₀) / √(p₀ (1 − p₀) / n) ; l’intervalle et le test vont ensemble (dualité). L’intervalle est toujours bilatéral, le sens du test (gauche, droite, bilatéral) n’influence que la valeur p.
• Si p̂ est saisi à la place de x, Statable calcule x = p̂ · n. Si le résultat est proche d’un entier (0,07 · 100 = 7), il est arrondi à cet entier ; sinon x reste tel quel et une remarque apparaît. Rien n’est arrondi en silence.
• Si n · p₀ · (1 − p₀) vaut au plus 9, l’approximation normale du test est grossière. Le test exact avec la loi binomiale se trouve dans la vignette « Comprendre le test d’une proportion ». Avec les mêmes nombres (7 sur 40, p₀ = 0,4), les deux donnent des valeurs p différentes : 0,0037 pour l’approximation, 0,0041 pour le test exact avec doublement.

Pourquoi le manuel diffère-t-il ?

De nombreux manuels utilisent la formule d’approximation p̂ ± z · √(p̂ (1 − p̂) / n) (Wald). Elle est imprécise pour un petit n ou pour des proportions proches de 0 et de 1 et peut même dépasser 1. Wilson résout exactement l’inégalité sous-jacente. Exemple 7 sur 40, 95 % : formule du manuel 0,0572 à 0,2928, Wilson 0,0875 à 0,3195. Le nombre du livre n’est donc pas mal calculé, mais il s’agit d’une approximation. (La fonction R prop.test applique par défaut une correction de continuité et donne ici 0,0789 à 0,3336 ; Statable calcule sans elle.)

Moyenne

Erreur type SE = s / √n, t = (x̄ − μ₀) / SE avec n − 1 degrés de liberté, intervalle x̄ ± t · SE et d de Cohen = (x̄ − μ₀) / s. Comme l’écart type de la population est inconnu, on utilise t et non z. Les valeurs n inférieur à 2 et s = 0 sont bloquées, car t et d ne seraient pas définis.

Taille d’échantillon pour une largeur souhaitée

• Proportion : n = ⌈z² · p (1 − p) / d²⌉, moyenne : n = ⌈(z · σ / d)²⌉, avec d comme demi-largeur (« ± d »). Toujours arrondi à l’entier supérieur. Certains livres donnent la longueur entière L de l’intervalle ; alors d = L / 2.
• Sans connaissance préalable, laissez p = 0,5 : c’est le pire des cas, aucun autre p ne demande plus de personnes. Exemples à 95 % : ± 5 points de pourcentage 385, ± 3 points de pourcentage 1 068, ± 2 points de pourcentage 2 401, ± 1 point de pourcentage 9 604.
• La formule est l’estimation simple de n. L’intervalle de l’échantillon terminé est ensuite calculé avec Wilson. Pour une moyenne, t demande quelques personnes de plus que z.

Taux à partir d’événements et de personne-temps

• Le choix « Un taux » calcule, à partir du nombre d’événements et des personne-temps par groupe, le taux (événements par personne-temps) avec l’intervalle de Poisson exact selon Garwood, le rapport des taux d’incidence de chaque groupe par rapport à un groupe de référence et la différence de taux. La personne choisit l’unité de temps (jours, semaines, mois, années) ; Statable ne la devine jamais. Les taux sont affichés pour 1 000 personnes-années (réglable).
• Le rapport des taux est exact (loi binomiale conditionnelle comme dans poisson.test de R), la différence est un intervalle de Wald (une approximation, incertaine avec moins d’environ 10 événements par groupe). Si le groupe de référence n’a aucun événement, le rapport n’est pas défini ; Statable le dit et affiche la valeur p exacte, la différence reste. Avec plus de deux groupes, les valeurs p ne sont pas ajustées pour les comparaisons multiples.
• Un taux n’est pas un risque : ce n’est pas la proportion de personnes ayant eu l’événement. Le calcul suppose une variation de Poisson et un taux qui reste le même pendant le temps d’observation ; si les effectifs varient davantage, les intervalles sont trop étroits (utilisez alors la régression de comptage avec une loi binomiale négative). Les personne-temps sont la somme du temps d’observation réel, et non le nombre de personnes multiplié par une durée moyenne.

Pour les spécialistes

Vérifié par rapport à R : prop.test(x, n, p, conf.level, correct = FALSE) pour l’intervalle et la valeur p, t.test pour la moyenne, l’intervalle et p, qnorm pour les tailles d’échantillon. Pour x = 0, la borne inférieure est exactement 0, pour x = n la borne supérieure exactement 1. Pour p̂ = 0,5, l’intervalle de Wilson n’est jamais plus large que l’intervalle de Wald.

Sources

• Wilson, E. B. (1927) : Probable inference, the law of succession, and statistical inference. Journal of the American Statistical Association 22, 209-212.
• Brown, L. D., Cai, T. T. & DasGupta, A. (2001) : Interval estimation for a binomial proportion. Statistical Science 16(2), 101-133.
• Lösungswege 8 (ÖBV, manuel autrichien), chapitre 7 : intervalle de confiance et taille d’échantillon d’un intervalle de confiance.