Обчислення за підсумковими статистиками: інтервал, критерій і обсяг вибірки

Коротко

Якщо є лише числа (кількість x із n або середнє, стандартне відхилення і n), ця плитка обчислює довірчий інтервал і критерій. Вона також відповідає, яким має бути обсяг вибірки для інтервалу бажаної ширини.

Частка

• Інтервал - це інтервал Вілсона (score) без поправки на неперервність. Критерій - це критерій score, z = (p̂ − p₀) / √(p₀ (1 − p₀) / n); інтервал і критерій узгоджені (дуальність). Інтервал завжди двосторонній (two-tailed), напрям критерію (лівий, правий, двосторонній) впливає лише на p-значення.
• Якщо замість x введено p̂, Statable обчислює x = p̂ · n. Якщо результат є цілим числом (0,07 · 100 = 7), його округлюють до нього; інакше x залишається і з’являється примітка. Нічого не округлюється мовчки.
• Якщо n · p₀ · (1 − p₀) щонайбільше 9, нормальне наближення критерію грубе. Точний критерій із біноміальним розподілом - у плитці «Розуміння критерію для частки». За тих самих чисел (7 із 40, p₀ = 0,4) обидва дають різні p-значення: 0,0037 для наближення, 0,0041 для точного критерію з подвоєнням.

Чому підручник дає інше?

Багато підручників використовують формулу наближення p̂ ± z · √(p̂ (1 − p̂) / n) (Вальда). Вона неточна за малого n або часток поблизу 0 і 1 і може навіть перевищити 1. Вілсон розв’язує вихідну нерівність точно. Приклад 7 із 40, 95%: підручникова формула від 0,0572 до 0,2928, Вілсон від 0,0875 до 0,3195. Число в книжці, отже, не помилково обчислене, а є наближенням. (Функція R prop.test за замовчуванням застосовує поправку на неперервність і тут дає від 0,0789 до 0,3336; Statable обчислює без неї.)

Середнє

Стандартна похибка SE = s / √n, t = (x̄ − μ₀) / SE з n − 1 ступенями вільності, інтервал x̄ ± t · SE і d Коена = (x̄ − μ₀) / s. Оскільки стандартне відхилення в генеральній сукупності невідоме, використовується t, а не z. n менше 2 і s = 0 заблоковані, бо t і d не були б визначені.

Обсяг вибірки для бажаної ширини

• Частка: n = ⌈z² · p (1 − p) / d²⌉, середнє: n = ⌈(z · σ / d)²⌉, де d - півширина («± d»). Завжди округлюється вгору. Деякі книжки наводять усю довжину L інтервалу; тоді d = L / 2.
• Без попередніх знань залиште p = 0,5: це найгірший випадок, жодне інше p не потребує більше осіб. Приклади за 95%: ± 5 п. п. - 385, ± 3 п. п. - 1068, ± 2 п. п. - 2401, ± 1 п. п. - 9604.
• Формула - це проста оцінка для n. Інтервал готової вибірки потім обчислюється за Вілсоном. Для середнього t потребує трохи більше осіб, ніж z.

Інтенсивності за подіями та людино-часом

• Вибір «Інтенсивність» обчислює за кількістю подій і людино-часом у групі інтенсивність (події на людино-час) із точним пуассонівським інтервалом за Гарвудом, відношення інтенсивностей кожної групи до референтної групи та різницю інтенсивностей (rate difference). Особа вибирає одиницю часу (дні, тижні, місяці, роки); Statable ніколи її не вгадує. Інтенсивності показано на 1000 людино-років (на вибір).
• Відношення інтенсивностей точне (умовний біноміальний розподіл, як у R poisson.test), різниця - інтервал Вальда (наближення, невпевнене за менш ніж приблизно 10 подій на групу). Якщо в референтній групі немає події, відношення не визначене; Statable повідомляє про це й показує точне p, різниця лишається. За понад двох груп p-значення не скориговані на множинні порівняння.
• Інтенсивність - не ризик: це не частка осіб, у яких настала подія. Обчислення припускає пуассонівську мінливість та інтенсивність, що лишається незмінною протягом спостереження; якщо кількості варіюють сильніше, інтервали занадто вузькі (тоді скористайтеся регресією підрахунку з від’ємним біноміальним розподілом). Людино-час - це сума фактичного часу спостереження, а не кількість осіб, помножена на середню тривалість.

Для фахівців

Перевірено щодо R: prop.test(x, n, p, conf.level, correct = FALSE) для інтервалу й p-значення, t.test для середнього, інтервалу й p, qnorm для обсягів вибірки. Для x = 0 нижня межа дорівнює точно 0, для x = n верхня межа - точно 1. За p̂ = 0,5 інтервал Вілсона ніколи не ширший за інтервал Вальда.

Джерела

• Wilson, E. B. (1927): Probable inference, the law of succession, and statistical inference. Journal of the American Statistical Association 22, 209-212.
• Brown, L. D., Cai, T. T. & DasGupta, A. (2001): Interval estimation for a binomial proportion. Statistical Science 16(2), 101-133.
• Lösungswege 8 (ÖBV, австрійський підручник), розділ 7: довірчий інтервал і обсяг вибірки довірчого інтервалу.