Calcola da valori riassuntivi: intervallo, test e dimensione del campione

In breve

Se sono disponibili solo i numeri (un numero x su n, oppure media, deviazione standard e n), questo riquadro calcola l’intervallo di confidenza e il test. Risponde anche a quanto grande deve essere il campione per un intervallo di un’ampiezza desiderata.

Proporzione

• L’intervallo è l’intervallo score di Wilson senza correzione di continuità. Il test è il test score, z = (p̂ − p₀) / √(p₀ (1 − p₀) / n); intervallo e test vanno insieme (dualità). L’intervallo è sempre bilaterale, la direzione del test (sinistra, destra, bilaterale) influisce solo sul valore p.
• Se si inserisce p̂ invece di x, Statable calcola x = p̂ · n. Se il risultato è vicino a un numero intero (0,07 · 100 = 7), viene arrotondato a esso; altrimenti x resta e compare un’avvertenza. Nulla viene arrotondato in silenzio.
• Se n · p₀ · (1 − p₀) è al massimo 9, l’approssimazione normale del test è grossolana. Il test esatto con la distribuzione binomiale si trova nel riquadro «Comprendi il test per una proporzione». Con gli stessi numeri (7 su 40, p₀ = 0,4) i due danno valori p diversi: 0,0037 per l’approssimazione, 0,0041 per il test esatto con raddoppio.

Perché il libro di testo è diverso?

Molti libri di testo usano la formula di approssimazione p̂ ± z · √(p̂ (1 − p̂) / n) (Wald). È imprecisa per n piccolo o per proporzioni vicine a 0 e a 1 e può persino superare 1. Wilson risolve esattamente la disuguaglianza di partenza. Esempio 7 su 40, 95%: formula del libro di testo da 0,0572 a 0,2928, Wilson da 0,0875 a 0,3195. Il numero sul libro non è quindi calcolato male, ma è un’approssimazione. (La funzione R prop.test applica per impostazione predefinita una correzione di continuità e dà qui da 0,0789 a 0,3336; Statable calcola senza.)

Media

Errore standard SE = s / √n, t = (x̄ − μ₀) / SE con n − 1 gradi di libertà, intervallo x̄ ± t · SE e d di Cohen = (x̄ − μ₀) / s. Poiché la deviazione standard della popolazione è sconosciuta, si usa t e non z. n inferiore a 2 e s = 0 sono bloccati, perché t e d non sarebbero definiti.

Dimensione del campione per un’ampiezza desiderata

• Proporzione: n = ⌈z² · p (1 − p) / d²⌉, media: n = ⌈(z · σ / d)²⌉, con d come semiampiezza («± d»). Sempre arrotondato per eccesso. Alcuni libri danno la lunghezza intera L dell’intervallo; allora d = L / 2.
• Senza conoscenze preliminari lascia p = 0,5: è il caso peggiore, nessun altro p richiede più persone. Esempi al 95%: ± 5 punti percentuali 385, ± 3 punti percentuali 1.068, ± 2 punti percentuali 2.401, ± 1 punto percentuale 9.604.
• La formula è la stima semplice per n. L’intervallo del campione ormai disponibile viene poi calcolato con Wilson. Per una media, t richiede qualche persona in più di z.

Tassi da eventi e persone-tempo

• La scelta «Un tasso» calcola, dal numero di eventi e dalle persone-tempo di ogni gruppo, il tasso (eventi per persone-tempo) con l’intervallo di Poisson esatto secondo Garwood, il rapporto tra tassi di ogni gruppo rispetto a un gruppo di riferimento e la differenza tra tassi (rate difference). La persona sceglie l’unità di tempo (giorni, settimane, mesi, anni); Statable non la indovina mai. I tassi sono mostrati per 1000 persone-anno (selezionabile).
• Il rapporto tra tassi è esatto (distribuzione binomiale condizionata come in poisson.test di R), la differenza è un intervallo di Wald (un’approssimazione, incerta con meno di circa 10 eventi per gruppo). Se il gruppo di riferimento non ha alcun evento, il rapporto non è definito; Statable lo dice e mostra il valore p esatto, la differenza resta. Con più di due gruppi i valori p non sono aggiustati per i confronti multipli.
• Un tasso non è un rischio: non è la proporzione di persone che hanno avuto l’evento. Il calcolo presuppone una variazione di Poisson e un tasso che resta uguale durante il tempo di osservazione; se i conteggi variano di più, gli intervalli sono troppo stretti (usa allora la regressione di conteggio con distribuzione binomiale negativa). Le persone-tempo sono la somma del tempo di osservazione effettivo, non il numero di persone per una durata media.

Per specialisti

Verificato con R: prop.test(x, n, p, conf.level, correct = FALSE) per intervallo e valore p, t.test per media, intervallo e p, qnorm per le dimensioni del campione. Per x = 0 il limite inferiore è esattamente 0, per x = n il limite superiore è esattamente 1. Con p̂ = 0,5 l’intervallo di Wilson non è mai più largo di quello di Wald.

Fonti

• Wilson, E. B. (1927): Probable inference, the law of succession, and statistical inference. Journal of the American Statistical Association 22, 209-212.
• Brown, L. D., Cai, T. T. & DasGupta, A. (2001): Interval estimation for a binomial proportion. Statistical Science 16(2), 101-133.
• Lösungswege 8 (ÖBV, libro di testo austriaco), capitolo 7: intervallo di confidenza e dimensione del campione di un intervallo di confidenza.