Berekenen uit samenvattende getallen: interval, toets en steekproefomvang

Kort

Als alleen de getallen beschikbaar zijn (een aantal x van n, of gemiddelde, standaarddeviatie en n), berekent deze tegel het betrouwbaarheidsinterval en de toets. Ze beantwoordt ook hoe groot de steekproef moet zijn voor een interval van een gewenste breedte.

Proportie

• Het interval is het Wilson-scoreinterval zonder continuïteitscorrectie. De toets is de scoretoets (score test), z = (p̂ − p₀) / √(p₀ (1 − p₀) / n); interval en toets horen bij elkaar (dualiteit). Het interval is altijd tweezijdig, de richting van de toets (links, rechts, twee) heeft alleen invloed op de p-waarde.
• Als p̂ in plaats van x wordt ingevoerd, berekent Statable x = p̂ · n. Als het resultaat bij een geheel getal ligt (0,07 · 100 = 7), wordt daarop afgerond; anders blijft x staan en verschijnt een opmerking. Er wordt niets stilzwijgend afgerond.
• Als n · p₀ · (1 − p₀) hoogstens 9 is, is de normale benadering van de toets grof. De exacte toets met de binomiale verdeling staat in de tegel “De toets voor een proportie begrijpen”. Met dezelfde getallen (7 van 40, p₀ = 0,4) geven de twee verschillende p-waarden: 0,0037 voor de benadering, 0,0041 voor de exacte toets met verdubbeling.

Waarom wijkt het leerboek af?

Veel leerboeken gebruiken de benaderingsformule p̂ ± z · √(p̂ (1 − p̂) / n) (Wald). Ze is onnauwkeurig bij kleine n of bij proporties dicht bij 0 en 1 en kan zelfs boven 1 uitkomen. Wilson lost de onderliggende ongelijkheid exact op. Voorbeeld 7 van 40, 95%: formule uit het leerboek 0,0572 tot 0,2928, Wilson 0,0875 tot 0,3195. Het getal in het boek is dus niet verkeerd berekend, maar een benadering. (De R-functie prop.test past standaard een continuïteitscorrectie toe en geeft hier 0,0789 tot 0,3336; Statable rekent zonder.)

Gemiddelde

Standaardfout SE = s / √n, t = (x̄ − μ₀) / SE met n − 1 vrijheidsgraden, interval x̄ ± t · SE en d van Cohen = (x̄ − μ₀) / s. Omdat de standaarddeviatie van de populatie onbekend is, wordt t gebruikt en niet z. n onder 2 en s = 0 zijn geblokkeerd, omdat t en d dan niet gedefinieerd zouden zijn.

Steekproefomvang voor een gewenste breedte

• Proportie: n = ⌈z² · p (1 − p) / d²⌉, gemiddelde: n = ⌈(z · σ / d)²⌉, met d als halve breedte (“± d”). Altijd naar boven afgerond. Sommige boeken geven de hele lengte L van het interval; dan is d = L / 2.
• Laat p = 0,5 staan als je geen voorkennis hebt: dat is het slechtste geval, geen andere p heeft meer mensen nodig. Voorbeelden bij 95%: ± 5 procentpunten 385, ± 3 procentpunten 1068, ± 2 procentpunten 2401, ± 1 procentpunt 9604.
• De formule is de eenvoudige schatting voor n. Het interval van de voltooide steekproef wordt daarna met Wilson berekend. Bij een gemiddelde heeft t een paar mensen meer nodig dan z.

Rates uit gebeurtenissen en persoonstijd

• De keuze “Een rate” berekent uit het aantal gebeurtenissen en de persoonstijd (person-time) per groep de rate (gebeurtenissen per persoonstijd) met het exacte Poisson-interval volgens Garwood, de incidentie rate ratio van elke groep ten opzichte van een referentiegroep en het verschil in incidentie rate (rate difference). De persoon kiest de tijdseenheid (dagen, weken, maanden, jaren); Statable raadt die nooit. Rates worden getoond per 1 000 persoonsjaren (kiesbaar).
• De incidentie rate ratio is exact (conditionele binomiale verdeling zoals in R poisson.test), het verschil een Wald-interval (een benadering, onzeker bij minder dan ongeveer 10 gebeurtenissen per groep). Heeft de referentiegroep geen gebeurtenis, dan is de ratio niet gedefinieerd; Statable zegt dat en toont de exacte p-waarde, het verschil blijft. Bij meer dan twee groepen zijn de p-waarden niet gecorrigeerd voor meervoudig toetsen.
• Een rate is geen risico: het is niet de proportie personen die de gebeurtenis hadden. De berekening veronderstelt Poisson-spreiding en een rate die gedurende de waarnemingstijd gelijk blijft; spreiden de tellingen sterker, dan zijn de intervallen te smal (gebruik dan de telregressie met negatief-binomiale verdeling). Persoonstijd (person-time) is de som van de werkelijke waarnemingstijd, niet het aantal personen keer een gemiddelde duur.

Voor specialisten

Gecontroleerd tegen R: prop.test(x, n, p, conf.level, correct = FALSE) voor interval en p-waarde, t.test voor gemiddelde, interval en p, qnorm voor de steekproefomvang. Bij x = 0 is de ondergrens precies 0, bij x = n de bovengrens precies 1. Bij p̂ = 0,5 is het Wilson-interval nooit breder dan het Wald-interval.

Bronnen

• Wilson, E. B. (1927): Probable inference, the law of succession, and statistical inference. Journal of the American Statistical Association 22, 209-212.
• Brown, L. D., Cai, T. T. & DasGupta, A. (2001): Interval estimation for a binomial proportion. Statistical Science 16(2), 101-133.
• Lösungswege 8 (ÖBV, Oostenrijks leerboek), hoofdstuk 7: betrouwbaarheidsinterval en steekproefomvang van een betrouwbaarheidsinterval.