Laboratorio de aprendizaje: muestras, bootstrap, experimentos aleatorios y tabla de contingencia 2 × 2 para probar

En resumen

El laboratorio de aprendizaje repite el azar miles de veces y muestra lo que sale. Tiene seis pestañas y no necesita datos. Todo lo que se muestra aparece como gráfico, número y frase; no se guarda nada.

La semilla

Todos los números aleatorios proceden de la semilla de arriba (por defecto 1). Misma semilla, mismos números: así se puede repetir una ejecución y compararla con otras. «Otra vez (nueva semilla)» sube la semilla en 1 y vuelve a ejecutar la pestaña abierta. La semilla aparece en cada frase. Los números aleatorios no coinciden con los de R o SPSS; misma distribución, otros números.

Las seis pestañas

• Muestras: se extraen hasta 10 000 muestras de tamaño n de una población (normal, plana, muy asimétrica, bimodal, dado o proporción). El gráfico muestra las medias (las proporciones en «proporción») con la curva que predice la teoría. El error típico de la simulación se acerca a σ/√n, y la distribución se hace más estrecha y más parecida a una campana al crecer n (teorema central del límite).
• Bootstrap: a partir de hasta 200 valores escritos, se extraen una y otra vez muestras nuevas con reposición (del mismo tamaño que la serie) y cada vez se anota la media. El intervalo percentil (cuantiles de tipo 7 de R) se muestra junto al intervalo t. Con menos de 10 valores, el intervalo percentil suele ser demasiado estrecho.
• Aleatorización: dos grupos (hasta 100 valores cada uno) se mezclan una y otra vez y cada vez se anota la diferencia de las medias. El valor p es (número de diferencias al menos igual de grandes + 1) / (mezclas + 1), de modo que nunca es exactamente 0. Si hay como máximo 20 000 repartos posibles, también se cuenta todo (entonces sin el «+1»). Al lado se muestra la prueba t de Welch a modo de comparación.
• Experimentos aleatorios: moneda, uno o dos dados (equilibrados o trucados) y urna con o sin reposición, hasta 100 000 repeticiones. La evolución muestra la frecuencia relativa frente a la probabilidad (ley de los grandes números); la tabla pone juntas las frecuencias y las probabilidades exactas.
• Tabla de contingencia 2 × 2 y árbol: a partir de la prevalencia, la sensibilidad y la especificidad (o de cuatro frecuencias), la tarjeta construye la tabla, un árbol con frecuencias naturales, el árbol invertido, los valores predictivos (VPP, VPN) con el cálculo de Bayes paso a paso y una comprobación de independencia. El tamaño de referencia se elige para que todos los números sean enteros (hasta 1 000 000); si no, se muestran decimales, nunca redondeados en silencio. Ejemplo: 1 %, 90 %, 91 % dan un VPP de 9,17 %: de 981 personas con resultado positivo, solo 90 están enfermas.
• Intervalos de confianza: 100 intervalos (Wilson para una proporción, intervalo t para una media) apilados, con el valor verdadero como línea vertical. Los intervalos que cubren son finos y continuos con un círculo, los que no cubren son gruesos y discontinuos con un rombo. «Otros 100» sigue contando; el total se acerca al nivel.

Qué significa «95 %»

El nivel pertenece al procedimiento, no a un intervalo concreto: a la larga, un procedimiento así cubre el valor verdadero unas 95 veces de cada 100; un intervalo concreto lo cubre o no lo cubre.

Wilson y la fórmula del libro de texto (Wald)

Statable calcula los intervalos de proporciones con Wilson. Los libros de texto suelen dar la aproximación p̂ ± z·√(p̂(1−p̂)/n) (Wald); es la solución sencilla de la desigualdad cuya solución exacta es el intervalo de Wilson. Por eso el número del libro difiere ligeramente. Ejemplo 7 de 40, 95 %: Wilson [0,0875; 0,3195], fórmula del libro de texto [0,0572; 0,2928]. Solo en la pestaña «Intervalos de confianza» se puede activar la fórmula del libro de texto a modo de comparación; allí muestra que con n pequeña y p pequeña o grande cubre claramente con menos frecuencia que el nivel (por ejemplo, n = 50, p = 5 %: Wald 92,0 %, Wilson 96,2 %).

Límites

• Tamaño de muestra de 1 a 500, como máximo 100 000 repeticiones (calculadas por tramos para que la página siga siendo utilizable); series de bootstrap de como máximo 200 valores, aleatorización de como máximo 100 por grupo.
• El bootstrap solo trata la media, la aleatorización solo la diferencia de medias. Sin archivos propios, no se guarda nada.
• El generador tiene 32 bits; para un número muy grande de extracciones (más de 10⁸) ya no bastaría, de ahí los límites superiores.

Para especialistas

Generador: mulberry32; los subflujos se mezclan a partir de (semilla, número correlativo), no «+1». Valores normales con Box-Muller, distribuciones discretas invirtiendo la función de distribución desde la moda hacia fuera. Comprobado por propiedades con una semilla fija: uniformidad del generador (Kolmogorov-Smirnov), ajuste de chi cuadrado de las transformaciones a las distribuciones calculadas en R, error típico, aleatorización frente a la enumeración completa, cobertura frente a la probabilidad de cobertura exacta (suma sobre dbinom). Intervalo percentil: cuantil de tipo 7 como en R. Bayes: aritmética pura, comprobada con R y con la exactitud diagnóstica a partir de datos.

Fuentes

• KMK: estándares educativos de matemáticas, acceso general a la universidad (Abitur, 2012), idea directriz «datos y azar» (diagramas de árbol, tablas de contingencia 2 × 2, simulaciones, inferencia de la muestra a la población).
• Gigerenzer, G. & Hoffrage, U. (1995): How to improve Bayesian reasoning without instruction: frequency formats. Psychological Review 102(4), 684-704.
• Brown, L. D., Cai, T. T. & DasGupta, A. (2001): Interval estimation for a binomial proportion. Statistical Science 16(2), 101-133.
• Phipson, B. & Smyth, G. K. (2010): Permutation p-values should never be zero. Statistical Applications in Genetics and Molecular Biology 9(1).
• Hesterberg, T. C. (2015): What teachers should know about the bootstrap. The American Statistician 69(4).
• Lock, R. H. et al.: StatKey (lock5stat.com); Seeing Theory (Brown University): modelos para distribuciones muestrales, bootstrap y aleatorización.