Laboratorio di apprendimento: campioni, bootstrap, esperimenti casuali e tabella di contingenza 2 × 2 da provare

In breve

Il laboratorio di apprendimento ripete il caso migliaia di volte e mostra che cosa ne esce. Ha sei schede e non richiede dati. Tutto ciò che viene mostrato compare come grafico, numero e frase; non viene salvato nulla.

Il seed

Tutti i numeri casuali provengono dal seed in alto (predefinito 1). Stesso seed, stessi numeri: così un’esecuzione si può ripetere e confrontare con altre. «Ancora (nuovo seed)» aumenta il seed di 1 e riesegue la scheda aperta. Il seed è indicato in ogni frase. I numeri casuali non coincidono con quelli di R o SPSS; stessa distribuzione, numeri diversi.

Le sei schede

• Campioni: fino a 10.000 campioni di dimensione n vengono estratti da una popolazione (normale, piatta, molto asimmetrica, bimodale, dado o proporzione). Il grafico mostra le medie (le proporzioni per «proporzione») con la curva prevista dalla teoria. L’errore standard della simulazione è vicino a σ/√n e la distribuzione diventa più stretta e più simile a una campana al crescere di n (teorema del limite centrale).
• Bootstrap: da un massimo di 200 valori scritti, vengono estratti sempre nuovi campioni con reinserimento (della stessa dimensione della serie), annotando ogni volta la media. L’intervallo percentile (quantili di tipo 7 di R) viene mostrato accanto all’intervallo t. Con meno di 10 valori l’intervallo percentile è spesso troppo stretto.
• Randomizzazione: due gruppi (fino a 100 valori ciascuno) vengono rimescolati più e più volte, annotando ogni volta la differenza tra le medie. Il valore p è (numero di differenze almeno altrettanto grandi + 1) / (rimescolamenti + 1), così non è mai esattamente 0. Se ci sono al massimo 20.000 suddivisioni possibili, si conta anche tutto (allora senza il «+1»). Accanto viene mostrato il test t di Welch per confronto.
• Esperimenti casuali: moneta, uno o due dadi (equi o truccati) e urna con o senza reinserimento, fino a 100.000 ripetizioni. L’andamento mostra la frequenza relativa rispetto alla probabilità (legge dei grandi numeri); la tabella affianca frequenze e probabilità esatte.
• Tabella di contingenza 2 × 2 e albero: da prevalenza, sensibilità e specificità (oppure da quattro frequenze) il riquadro costruisce la tabella, un albero con frequenze naturali (natural frequencies), l’albero invertito, i valori predittivi (VPP, VPN) con il calcolo di Bayes passo per passo e un controllo di indipendenza. La numerosità di riferimento viene scelta in modo che tutti i numeri siano interi (fino a 1.000.000); altrimenti vengono mostrati decimali, mai arrotondati in silenzio. Esempio: 1%, 90%, 91% danno un VPP del 9,17%: su 981 persone risultate positive solo 90 sono malate.
• Intervalli di confidenza: 100 intervalli (Wilson per una proporzione, intervallo t per una media) sovrapposti, con il valore vero come linea verticale. Gli intervalli che coprono sono sottili e continui con un cerchio, quelli che non coprono sono spessi e tratteggiati con un rombo. «Altri 100» continua a contare; il totale si avvicina al livello.

Che cosa significa «95%»

Il livello appartiene al procedimento, non a un singolo intervallo: a lungo andare un procedimento di questo tipo copre il valore vero circa 95 volte su 100; un singolo intervallo lo copre oppure no.

Wilson e la formula del libro di testo (Wald)

Statable calcola gli intervalli per le proporzioni con Wilson. I libri di testo riportano spesso l’approssimazione p̂ ± z·√(p̂(1−p̂)/n) (Wald); è la soluzione semplice della disuguaglianza la cui soluzione esatta è l’intervallo di Wilson. Per questo il numero del libro differisce leggermente. Esempio 7 su 40, 95%: Wilson [0,0875; 0,3195], formula del libro di testo [0,0572; 0,2928]. Solo nella scheda «Intervalli di confidenza» si può attivare la formula del libro di testo per confronto; lì mostra che con n piccolo e p piccolo o grande copre nettamente meno spesso del livello (per esempio n = 50, p = 5%: Wald 92,0%, Wilson 96,2%).

Limiti

• Dimensione del campione da 1 a 500, al massimo 100.000 ripetizioni (calcolate a blocchi perché la pagina resti utilizzabile); serie bootstrap di al massimo 200 valori, randomizzazione di al massimo 100 per gruppo.
• Il bootstrap tratta solo la media, la randomizzazione solo la differenza tra medie. Nessun file proprio, non viene salvato nulla.
• Il generatore ha 32 bit; per un numero molto grande di estrazioni (oltre 10⁸) non basterebbe più, di qui i limiti superiori.

Per specialisti

Generatore: mulberry32; i sottoflussi sono mescolati da (seed, numero progressivo), non «+1». Valori normali con Box-Muller, distribuzioni discrete per inversione della funzione di ripartizione dalla moda verso l’esterno. Verificato per proprietà con un seed fisso: uniformità del generatore (Kolmogorov-Smirnov), adattamento chi-quadrato delle trasformazioni alle distribuzioni calcolate in R, errore standard, randomizzazione rispetto all’enumerazione completa (complete enumeration), copertura rispetto alla probabilità di copertura esatta (somma su dbinom). Intervallo percentile: quantile di tipo 7 come in R. Bayes: aritmetica pura, verificata con R e con l’accuratezza diagnostica dai dati.

Fonti

• KMK: standard di formazione in matematica, maturità generale (Abitur, 2012), idea guida «dati e caso» (diagrammi ad albero, tabelle di contingenza 2 × 2, simulazioni, inferenza dal campione alla popolazione).
• Gigerenzer, G. & Hoffrage, U. (1995): How to improve Bayesian reasoning without instruction: frequency formats. Psychological Review 102(4), 684-704.
• Brown, L. D., Cai, T. T. & DasGupta, A. (2001): Interval estimation for a binomial proportion. Statistical Science 16(2), 101-133.
• Phipson, B. & Smyth, G. K. (2010): Permutation p-values should never be zero. Statistical Applications in Genetics and Molecular Biology 9(1).
• Hesterberg, T. C. (2015): What teachers should know about the bootstrap. The American Statistician 69(4).
• Lock, R. H. et al.: StatKey (lock5stat.com); Seeing Theory (Brown University): modelli per distribuzioni campionarie, bootstrap e randomizzazione.