Lernlabor: Stichproben, Bootstrap, Zufallsexperimente und Vierfeldertafel zum Ausprobieren

Kurz

Das Lernlabor spielt den Zufall tausendfach durch und zeigt, was dabei herauskommt. Es hat sechs Karteireiter und braucht keine Daten. Alles Gezeigte kommt aus einem Bild, einer Zahl und einem Satz; nichts wird gespeichert.

Der Startwert

Alle Zufallszahlen entstehen aus dem Startwert oben (Standard 1). Gleicher Startwert, gleiche Zahlen: so lässt sich ein Lauf wiederholen und mit anderen vergleichen. „Noch einmal (neuer Startwert)“ zählt um 1 hoch und rechnet den offenen Karteireiter neu. Der Startwert steht in jedem Satz. Die Zufallszahlen stimmen nicht mit R oder SPSS überein; gleiche Verteilung, andere Zahlen.

Die sechs Karteireiter

• Stichproben: aus einer Grundgesamtheit (Normal, flach, stark schief, zweigipflig, Würfel oder Anteil) werden bis zu 10 000 Stichproben vom Umfang n gezogen. Das Bild zeigt die Mittelwerte (bei „Anteil“ die Anteile) mit der Kurve, die die Theorie vorhersagt. Der Standardfehler aus der Simulation liegt nahe bei σ/√n, und die Verteilung wird mit wachsendem n schmaler und glockenförmiger (Zentraler Grenzwertsatz).
• Bootstrap: aus bis zu 200 eingetippten Werten wird mit Zurücklegen immer wieder neu gezogen (Umfang wie die Reihe), jedes Mal der Mittelwert notiert. Das Perzentil-Intervall (Quantile nach R-Typ 7) steht neben dem t-Intervall. Bei weniger als 10 Werten fällt das Perzentil-Intervall oft zu eng aus.
• Randomisierung: zwei Gruppen (je bis zu 100 Werte) werden immer wieder neu gemischt, jedes Mal wird der Unterschied der Mittelwerte notiert. Der p-Wert ist (Anzahl mindestens so großer Unterschiede + 1) / (Mischungen + 1), damit er nie genau 0 ist. Gibt es höchstens 20 000 mögliche Aufteilungen, wird zusätzlich alles durchgezählt (dann ohne „+1“). Zum Vergleich steht der Welch-t-Test daneben.
• Zufallsexperimente: Münze, ein oder zwei Würfel (fair oder gezinkt) und Urne mit oder ohne Zurücklegen, bis zu 100 000 Wiederholungen. Der Verlauf zeigt die relative Häufigkeit gegen die Wahrscheinlichkeit (Gesetz der großen Zahlen); die Tabelle stellt Häufigkeiten und die exakten Wahrscheinlichkeiten nebeneinander.
• Vierfeldertafel und Baum: aus Prävalenz, Sensitivität und Spezifität (oder aus vier Häufigkeiten) entstehen Tafel, Baum mit natürlichen Häufigkeiten, Umkehrbaum, die Vorhersagewerte (PPV, NPV) mit dem Rechenweg der Bayes-Formel und ein Unabhängigkeits-Check. Die Bezugsgröße wird so gewählt, dass alle Zahlen ganz sind (bis 1 000 000); sonst stehen Dezimalstellen da, nie still gerundet. Beispiel: 1 %, 90 %, 91 % ergeben PPV 9,17 %: Von 981 positiv Getesteten sind nur 90 krank.
• Konfidenzintervalle: 100 Intervalle (Wilson für einen Anteil, t-Intervall für einen Mittelwert) übereinander, der wahre Wert als senkrechte Linie. Überdeckende Intervalle sind dünn und durchgezogen mit Kreis, nicht überdeckende dick und gestrichelt mit Raute. „Weitere 100“ zählt weiter; die Summe nähert sich dem Niveau.

Was „95 %“ bedeutet

Das Niveau gehört zum Verfahren, nicht zu einem einzelnen Intervall: So ein Verfahren überdeckt auf lange Sicht etwa 95 von 100 Mal; ein einzelnes Intervall überdeckt oder nicht.

Wilson und die Schulformel (Wald)

Statable rechnet Intervalle für Anteile mit Wilson. Im Schulbuch steht oft die Näherung p̂ ± z·√(p̂(1−p̂)/n) (Wald); sie ist die einfache Lösung der Ungleichung, deren genaue Lösung das Wilson-Intervall ist. Darum weicht die Schulbuchzahl leicht ab. Beispiel 7 von 40, 95 %: Wilson [0,0875; 0,3195], Schulformel [0,0572; 0,2928]. Nur im Karteireiter „Konfidenzintervalle“ lässt sich die Schulformel zum Vergleich einschalten; dort zeigt sich, dass sie bei kleinem n und kleinem oder großem p deutlich seltener überdeckt als das Niveau (zum Beispiel n = 50, p = 5 %: Wald 92,0 %, Wilson 96,2 %).

Grenzen

• Stichprobenumfang 1 bis 500, höchstens 100 000 Wiederholungen (Anzeige in Stücken, damit die Seite bedienbar bleibt); Bootstrap-Reihe höchstens 200 Werte, Randomisierung je Gruppe höchstens 100.
• Der Bootstrap rechnet nur den Mittelwert, die Randomisierung nur die Mittelwertdifferenz. Keine eigenen Dateien, nichts wird gespeichert.
• Der Erzeuger hat 32 Bit; für sehr viele Ziehungen (über 10⁸) wäre er nicht mehr ausreichend, deshalb die Obergrenzen.

Für Fachleute

Erzeuger: mulberry32; Teilströme werden aus (Startwert, laufender Nummer) gemischt, nicht „+1“. Normalverteilte Werte nach Box-Muller, diskrete Verteilungen durch Umkehrung der Verteilungsfunktion von der Modalstelle nach außen. Geprüft über Eigenschaften mit festem Startwert: Gleichverteilung des Erzeugers (Kolmogorov-Smirnov), χ²-Anpassung der Umwandlungen an die in R berechneten Verteilungen, Standardfehler, Randomisierung gegen die Vollauszählung, Überdeckung gegen die exakte Überdeckungswahrscheinlichkeit (Summe über dbinom). Perzentil-Intervall: Quantil-Typ 7 wie R. Bayes: reine Arithmetik, gegen R und gegen die Testgüte aus Daten geprüft.

Quellen

• KMK: Bildungsstandards Mathematik, Allgemeine Hochschulreife (2012), Leitidee „Daten und Zufall“ (Baumdiagramme, Vierfeldertafeln, Simulationen, Schluss von Stichproben auf die Gesamtheit).
• Gigerenzer, G. & Hoffrage, U. (1995): How to improve Bayesian reasoning without instruction: frequency formats. Psychological Review 102(4), 684-704.
• Brown, L. D., Cai, T. T. & DasGupta, A. (2001): Interval estimation for a binomial proportion. Statistical Science 16(2), 101-133.
• Phipson, B. & Smyth, G. K. (2010): Permutation p-values should never be zero. Statistical Applications in Genetics and Molecular Biology 9(1).
• Hesterberg, T. C. (2015): What teachers should know about the bootstrap. The American Statistician 69(4).
• Lock, R. H. et al.: StatKey (lock5stat.com); Seeing Theory (Brown University): Vorbilder für Stichprobenverteilung, Bootstrap und Randomisierung.