Учебна лаборатория: извадки, бутстрап, случайни опити и кръстосана таблица 2 × 2 за изпробване

Накратко

Учебната лаборатория разиграва случайността хиляди пъти и показва какво излиза. Има шест раздела и не изисква данни. Всичко показано идва като графика, число и изречение; нищо не се запазва.

Начално число

Всички случайни числа идват от началното число горе (по подразбиране 1). Същото начално число, същите числа: така едно изпълнение може да се повтори и да се сравни с други. „Отново (ново начално число)“ увеличава началното число с 1 и изпълнява отново отворения раздел. Началното число е посочено във всяко изречение. Случайните числа не съвпадат с тези от R или SPSS; същото разпределение, други числа.

Шестте раздела

• Извадки: от генерална съвкупност (нормална, равномерна, силно асиметрична, с два върха, зар или дял) се теглят до 10 000 извадки с обем n. Графиката показва средните (дяловете за „дял“) с кривата, която предсказва теорията. Стандартната грешка от симулацията е близка до σ/√n, а разпределението става все по-тясно и по-камбанообразно с растежа на n (централна гранична теорема).
• Бутстрап: от до 200 въведени стойности отново и отново се теглят нови извадки с връщане (със същия размер като редицата), като всеки път се записва средната. Процентилният интервал (квантили от тип 7 на R) се показва до t-интервала. При по-малко от 10 стойности процентилният интервал често е твърде тесен.
• Рандомизация: две групи (до 100 стойности във всяка) се разбъркват отново и отново, като всеки път се записва разликата на средните. p-стойността е (брой на разликите, поне толкова големи + 1) / (разбърквания + 1), така че никога да не е точно 0. Ако възможните разделяния са най-много 20 000, преброява се и всичко (тогава без „+1“). До него за сравнение се показва t-критерият на Уелч.
• Случайни опити: монета, един или два зара (правилни или с неравномерно тегло) и урна с връщане или без връщане, до 100 000 повторения. Ходът показва относителната честота спрямо вероятността (закон за големите числа); таблицата поставя една до друга честотите и точните вероятности.
• Кръстосана таблица 2 × 2 и дърво: от разпространение, чувствителност и специфичност (или от четири честоти) плочката изгражда таблицата, дърво с естествени честоти (natural frequencies), обърнатото дърво, прогностичните стойности (PPV, NPV) с изчислението по Бейс стъпка по стъпка и проверка за независимост. Референтният обем се избира така, че всички числа да са цели (до 1 000 000); иначе се показват десетични знаци, никога мълчаливо закръглени. Пример: 1%, 90%, 91% дават PPV 9,17%: от 981 души с положителен резултат болни са само 90.
• Доверителни интервали: 100 интервала (Уилсън за дял, t-интервал за средна стойност), наредени един под друг, истинската стойност като вертикална линия. Интервалите, които покриват, са тънки и плътни с кръгче, тези, които не покриват, са дебели и прекъснати с ромб. „Още 100“ продължава броенето; общият дял се приближава към нивото.

Какво означава „95%“

Нивото принадлежи на процедурата, не на отделния интервал: в дългосрочен план такава процедура покрива истинската стойност приблизително в 95 от 100 случая; отделният интервал или я покрива, или не.

Уилсън и формулата от учебника (Валд)

Statable изчислява интервалите за дялове по Уилсън. Учебниците често дават приближението p̂ ± z·√(p̂(1−p̂)/n) (Валд); то е простото решение на неравенството, чието точно решение е интервалът на Уилсън. Затова числото от учебника се различава малко. Пример 7 от 40, 95%: Уилсън [0,0875; 0,3195], формула от учебника [0,0572; 0,2928]. Само в раздела „Доверителни интервали“ формулата от учебника може да се включи за сравнение; там се вижда, че при малко n и малко или голямо p тя покрива отчетливо по-рядко от нивото (например n = 50, p = 5%: Валд 92,0%, Уилсън 96,2%).

Ограничения

• Обем на извадката от 1 до 500, най-много 100 000 повторения (изчислява се на части, за да остане страницата използваема); редици за бутстрап най-много 200 стойности, рандомизация най-много 100 на група.
• Бутстрапът се отнася само до средната, рандомизацията само до разликата на средните. Без собствени файлове, нищо не се запазва.
• Генераторът има 32 бита; при много голям брой тегления (над 10⁸) вече не би стигал, оттам горните граници.

За специалисти

Генератор: mulberry32; подпотоците се смесват от (начално число, пореден номер), а не „+1“. Нормални стойности по метода на Бокс-Мюлер, дискретни разпределения чрез обръщане на функцията на разпределение от модата навън. Проверено чрез свойства при фиксирано начално число: равномерност (evenness) на генератора (критерий на Колмогоров-Смирнов), съгласие по хи-квадрат на преобразуванията с разпределенията, изчислени в R, стандартна грешка, рандомизация спрямо пълно изброяване (complete enumeration), покритие спрямо точната вероятност за покритие (coverage) (сума върху dbinom). Процентилен интервал: квантил от тип 7 като в R. Бейс: чиста аритметика, проверена спрямо R и спрямо диагностичната точност от данни.

Източници

• KMK: образователни стандарти по математика, общо средно образование с право на висше (2012), водеща идея „данни и случайност“ (дървета на вероятностите, кръстосани таблици 2 × 2, симулации, извод от извадки към генералната съвкупност).
• Gigerenzer, G. & Hoffrage, U. (1995): How to improve Bayesian reasoning without instruction: frequency formats. Psychological Review 102(4), 684-704.
• Brown, L. D., Cai, T. T. & DasGupta, A. (2001): Interval estimation for a binomial proportion. Statistical Science 16(2), 101-133.
• Phipson, B. & Smyth, G. K. (2010): Permutation p-values should never be zero. Statistical Applications in Genetics and Molecular Biology 9(1).
• Hesterberg, T. C. (2015): What teachers should know about the bootstrap. The American Statistician 69(4).
• Lock, R. H. и др.: StatKey (lock5stat.com); Seeing Theory (Brown University): модели за извадкови разпределения, бутстрап и рандомизация.