Εργαστήριο μάθησης: δείγματα, bootstrap, πειράματα τύχης και πίνακας συνάφειας 2 × 2 για δοκιμή

Εν συντομία

Το εργαστήριο μάθησης παίζει την τύχη χιλιάδες φορές και δείχνει τι βγαίνει. Έχει έξι καρτέλες και δεν χρειάζεται δεδομένα. Ό,τι εμφανίζεται, εμφανίζεται ως διάγραμμα, αριθμός και πρόταση· δεν αποθηκεύεται τίποτα.

Το seed

Όλοι οι τυχαίοι αριθμοί προέρχονται από το seed στην κορυφή (προεπιλογή 1). Ίδιο seed, ίδιοι αριθμοί: έτσι μια εκτέλεση μπορεί να επαναληφθεί και να συγκριθεί με άλλες. Το «Ξανά (νέο seed)» αυξάνει το seed κατά 1 και εκτελεί ξανά την ανοιχτή καρτέλα. Το seed αναφέρεται σε κάθε πρόταση. Οι τυχαίοι αριθμοί δεν συμπίπτουν με αυτούς του R ή του SPSS· ίδια κατανομή, άλλοι αριθμοί.

Οι έξι καρτέλες

• Δείγματα: έως 10 000 δείγματα μεγέθους n εξάγονται από έναν πληθυσμό (κανονικό, επίπεδο, έντονα ασύμμετρο, διπλής κορυφής, ζάρι ή αναλογία). Το διάγραμμα δείχνει τους μέσους όρους (τις αναλογίες για την «αναλογία») με την καμπύλη που προβλέπει η θεωρία. Το τυπικό σφάλμα από την προσομοίωση είναι κοντά στο σ/√n, και η κατανομή γίνεται στενότερη και πιο καμπανοειδής όσο αυξάνεται το n (θεώρημα κεντρικού ορίου).
• Bootstrap: από έως 200 πληκτρολογημένες τιμές εξάγονται ξανά και ξανά νέα δείγματα με επανατοποθέτηση (ίδιου μεγέθους με τη σειρά), καταγράφοντας κάθε φορά τον μέσο όρο. Το διάστημα percentile (ποσοστημόρια τύπου 7 του R) εμφανίζεται δίπλα στο διάστημα t. Με λιγότερες από 10 τιμές το διάστημα percentile είναι συχνά πολύ στενό.
• Τυχαιοποίηση: δύο ομάδες (έως 100 τιμές η καθεμία) αναμειγνύονται ξανά και ξανά, καταγράφοντας κάθε φορά τη διαφορά των μέσων όρων. Η τιμή p είναι (αριθμός διαφορών τουλάχιστον εξίσου μεγάλων + 1) / (αναμείξεις + 1), ώστε να μην είναι ποτέ ακριβώς 0. Αν υπάρχουν το πολύ 20 000 δυνατές διαιρέσεις, μετριούνται επίσης όλες (τότε χωρίς το «+1»). Δίπλα εμφανίζεται για σύγκριση ο έλεγχος t του Welch.
• Πειράματα τύχης: νόμισμα, ένα ή δύο ζάρια (δίκαια ή στημένα) και κάλπη με ή χωρίς επανατοποθέτηση, έως 100 000 επαναλήψεις. Η εξέλιξη δείχνει τη σχετική συχνότητα έναντι της πιθανότητας (νόμος των μεγάλων αριθμών)· ο πίνακας βάζει δίπλα δίπλα συχνότητες και ακριβείς πιθανότητες.
• Πίνακας συνάφειας 2 × 2 και δενδροδιάγραμμα (tree diagram): από τον επιπολασμό, την ευαισθησία και την ειδικότητα (ή από τέσσερις συχνότητες) η κάρτα δημιουργεί τον πίνακα, ένα δενδροδιάγραμμα με φυσικές συχνότητες (natural frequencies), το αντεστραμμένο δενδροδιάγραμμα, τις προγνωστικές αξίες (PPV, NPV) με τον υπολογισμό του Bayes βήμα προς βήμα και έναν έλεγχο ανεξαρτησίας. Το μέγεθος αναφοράς επιλέγεται ώστε όλοι οι αριθμοί να είναι ακέραιοι (έως 1 000 000)· διαφορετικά εμφανίζονται δεκαδικά, ποτέ στρογγυλοποιημένα σιωπηλά. Παράδειγμα: 1%, 90%, 91% δίνουν PPV 9,17%: από 981 άτομα με θετικό αποτέλεσμα μόνο τα 90 είναι ασθενείς.
• Διαστήματα εμπιστοσύνης: 100 διαστήματα (Wilson για αναλογία, διάστημα t για μέσο όρο) το ένα πάνω στο άλλο, με την πραγματική τιμή ως κάθετη γραμμή. Τα διαστήματα που καλύπτουν είναι λεπτά και συνεχή με κύκλο, αυτά που δεν καλύπτουν είναι παχιά και διακεκομμένα με ρόμβο. Το «Άλλα 100» συνεχίζει να μετρά· το σύνολο πλησιάζει το επίπεδο.

Τι σημαίνει «95%»

Το επίπεδο ανήκει στη διαδικασία, όχι σε ένα μεμονωμένο διάστημα: μακροπρόθεσμα μια τέτοια διαδικασία καλύπτει την πραγματική τιμή περίπου 95 φορές στις 100· ένα μεμονωμένο διάστημα την καλύπτει ή όχι.

Wilson και ο τύπος του σχολικού βιβλίου (Wald)

Το Statable υπολογίζει διαστήματα για αναλογίες με τον Wilson. Τα σχολικά βιβλία δίνουν συχνά την προσέγγιση p̂ ± z·√(p̂(1−p̂)/n) (Wald)· είναι η απλή λύση της ανισότητας της οποίας η ακριβής λύση είναι το διάστημα Wilson. Γι' αυτό ο αριθμός του βιβλίου διαφέρει ελαφρώς. Παράδειγμα 7 από 40, 95%: Wilson [0,0875; 0,3195], τύπος σχολικού βιβλίου [0,0572; 0,2928]. Μόνο στην καρτέλα «Διαστήματα εμπιστοσύνης» μπορεί να ενεργοποιηθεί ο τύπος του σχολικού βιβλίου για σύγκριση· εκεί φαίνεται ότι με μικρό n και μικρό ή μεγάλο p καλύπτει σαφώς λιγότερο συχνά από το επίπεδο (για παράδειγμα n = 50, p = 5%: Wald 92,0%, Wilson 96,2%).

Περιορισμοί

• Μέγεθος δείγματος 1 έως 500, το πολύ 100 000 επαναλήψεις (υπολογίζονται κατά τμήματα ώστε η σελίδα να παραμένει χρηστική)· σειρές bootstrap το πολύ 200 τιμές, τυχαιοποίηση το πολύ 100 ανά ομάδα.
• Το bootstrap χειρίζεται μόνο τον μέσο όρο, η τυχαιοποίηση μόνο τη διαφορά μέσων όρων. Χωρίς δικά σας αρχεία, δεν αποθηκεύεται τίποτα.
• Η γεννήτρια έχει 32 bit· για πολύ μεγάλο αριθμό εξαγωγών (πάνω από 10⁸) δεν θα επαρκούσε πια, εξ ου και τα άνω όρια.

Για ειδικούς

Γεννήτρια: mulberry32· οι υποροές αναμειγνύονται από (seed, αύξων αριθμός), όχι «+1». Κανονικές τιμές με Box-Muller, διακριτές κατανομές με αντιστροφή της συνάρτησης κατανομής από την επικρατούσα τιμή προς τα έξω. Ελεγμένο με ιδιότητες και σταθερό seed: ομοιομορφία της γεννήτριας (Kolmogorov-Smirnov), προσαρμογή χι-τετράγωνο των μετασχηματισμών στις κατανομές που υπολογίστηκαν στο R, τυπικό σφάλμα, τυχαιοποίηση έναντι πλήρους απαρίθμησης (complete enumeration), κάλυψη έναντι της ακριβούς πιθανότητας κάλυψης (άθροισμα πάνω στο dbinom). Διάστημα percentile: ποσοστημόριο τύπου 7 όπως στο R. Bayes: καθαρή αριθμητική, ελεγμένη έναντι του R και της διαγνωστικής ακρίβειας από δεδομένα.

Πηγές

• KMK: εκπαιδευτικά πρότυπα στα μαθηματικά, γενική πρόσβαση στην τριτοβάθμια εκπαίδευση (Abitur, 2012), κεντρική ιδέα «δεδομένα και τύχη» (δενδροδιαγράμματα, πίνακες συνάφειας 2 × 2, προσομοιώσεις, συμπέρασμα από το δείγμα στον πληθυσμό).
• Gigerenzer, G. & Hoffrage, U. (1995): How to improve Bayesian reasoning without instruction: frequency formats. Psychological Review 102(4), 684-704.
• Brown, L. D., Cai, T. T. & DasGupta, A. (2001): Interval estimation for a binomial proportion. Statistical Science 16(2), 101-133.
• Phipson, B. & Smyth, G. K. (2010): Permutation p-values should never be zero. Statistical Applications in Genetics and Molecular Biology 9(1).
• Hesterberg, T. C. (2015): What teachers should know about the bootstrap. The American Statistician 69(4).
• Lock, R. H. et al.: StatKey (lock5stat.com)· Seeing Theory (Brown University): μοντέλα για κατανομές δειγματοληψίας (sampling distribution), bootstrap και τυχαιοποίηση.