Laboratório de aprendizagem: amostras, bootstrap, experiências aleatórias e tabela de contingência 2 × 2 para experimentar

Em resumo

O laboratório de aprendizagem repete o acaso milhares de vezes e mostra o que sai. Tem seis separadores e não precisa de dados. Tudo o que é mostrado aparece como gráfico, número e frase; não se guarda nada.

A semente

Todos os números aleatórios provêm da semente indicada em cima (por omissão, 1). Mesma semente, mesmos números: assim é possível repetir uma execução e compará-la com outras. «Outra vez (nova semente)» aumenta a semente em 1 e volta a executar o separador aberto. A semente é indicada em cada frase. Os números aleatórios não coincidem com os do R ou do SPSS; mesma distribuição, outros números.

Os seis separadores

• Amostras: até 10 000 amostras de dimensão n são extraídas de uma população (normal, plana, muito assimétrica, bimodal, dado ou proporção). O gráfico mostra as médias (as proporções em «proporção») com a curva prevista pela teoria. O erro-padrão da simulação aproxima-se de σ/√n e a distribuição fica mais estreita e mais parecida com um sino à medida que n aumenta (teorema central do limite).
• Bootstrap: a partir de até 200 valores escritos, são extraídas vezes sem conta novas amostras com reposição (da mesma dimensão da série), anotando de cada vez a média. O intervalo percentílico (quantis do tipo 7 do R) é mostrado ao lado do intervalo t. Com menos de 10 valores, o intervalo percentílico é muitas vezes demasiado estreito.
• Aleatorização: dois grupos (até 100 valores cada) são misturados vezes sem conta, anotando de cada vez a diferença das médias. O valor p é (número de diferenças pelo menos igualmente grandes + 1) / (misturas + 1), de modo que nunca é exatamente 0. Se houver no máximo 20 000 divisões possíveis, também se conta tudo (então sem o «+1»). Ao lado é mostrado o teste t de Welch para comparação.
• Experiências aleatórias: moeda, um ou dois dados (equilibrados ou viciados) e urna com ou sem reposição, até 100 000 repetições. A evolução mostra a frequência relativa face à probabilidade (lei dos grandes números); a tabela põe lado a lado as frequências e as probabilidades exatas.
• Tabela de contingência 2 × 2 e árvore: a partir da prevalência, da sensibilidade e da especificidade (ou de quatro frequências), o cartão constrói a tabela, uma árvore com frequências naturais (natural frequencies), a árvore invertida, os valores preditivos (VPP, VPN) com o cálculo de Bayes passo a passo e uma verificação de independência. A dimensão de referência é escolhida para que todos os números sejam inteiros (até 1 000 000); caso contrário, são mostradas casas decimais, nunca arredondadas em silêncio. Exemplo: 1%, 90%, 91% dão um VPP de 9,17%: de 981 pessoas com resultado positivo, apenas 90 estão doentes.
• Intervalos de confiança: 100 intervalos (Wilson para uma proporção, intervalo t para uma média) empilhados, com o valor verdadeiro como linha vertical. Os intervalos que cobrem são finos e contínuos com um círculo, os que não cobrem são grossos e tracejados com um losango. «Mais 100» continua a contar; o total aproxima-se do nível.

O que significa «95%»

O nível pertence ao procedimento, não a um intervalo isolado: a longo prazo, um procedimento deste tipo cobre o valor verdadeiro cerca de 95 vezes em cada 100; um intervalo isolado cobre-o ou não.

Wilson e a fórmula do manual (Wald)

O Statable calcula os intervalos para proporções com Wilson. Os manuais dão muitas vezes a aproximação p̂ ± z·√(p̂(1−p̂)/n) (Wald); é a solução simples da desigualdade cuja solução exata é o intervalo de Wilson. Por isso o número do manual difere ligeiramente. Exemplo 7 de 40, 95%: Wilson [0,0875; 0,3195], fórmula do manual [0,0572; 0,2928]. Só no separador «Intervalos de confiança» é possível ativar a fórmula do manual para comparação; aí mostra que, com n pequeno e p pequeno ou grande, cobre claramente menos vezes do que o nível (por exemplo, n = 50, p = 5%: Wald 92,0%, Wilson 96,2%).

Limites

• Dimensão da amostra de 1 a 500, no máximo 100 000 repetições (calculadas por partes para que a página continue utilizável); séries de bootstrap de no máximo 200 valores, aleatorização de no máximo 100 por grupo.
• O bootstrap trata apenas a média, a aleatorização apenas a diferença de médias. Sem ficheiros próprios, não se guarda nada.
• O gerador tem 32 bits; para um número muito grande de extrações (mais de 10⁸) já não chegaria, daí os limites superiores.

Para especialistas

Gerador: mulberry32; os subfluxos são misturados a partir de (semente, número de ordem), e não «+1». Valores normais por Box-Muller, distribuições discretas por inversão da função de distribuição a partir da moda para fora. Verificado por propriedades com semente fixa: uniformidade do gerador (Kolmogorov-Smirnov), ajustamento do qui-quadrado das transformações às distribuições calculadas no R, erro-padrão, aleatorização face à enumeração completa, cobertura face à probabilidade de cobertura exata (soma sobre dbinom). Intervalo percentílico: quantil do tipo 7 como no R. Bayes: aritmética pura, verificada com o R e com a exatidão diagnóstica a partir de dados.

Fontes

• KMK: normas de formação em Matemática, acesso geral ao ensino superior (Abitur, 2012), ideia diretriz «dados e acaso» (diagramas de árvore, tabelas de contingência 2 × 2, simulações, inferência da amostra para a população).
• Gigerenzer, G. & Hoffrage, U. (1995): How to improve Bayesian reasoning without instruction: frequency formats. Psychological Review 102(4), 684-704.
• Brown, L. D., Cai, T. T. & DasGupta, A. (2001): Interval estimation for a binomial proportion. Statistical Science 16(2), 101-133.
• Phipson, B. & Smyth, G. K. (2010): Permutation p-values should never be zero. Statistical Applications in Genetics and Molecular Biology 9(1).
• Hesterberg, T. C. (2015): What teachers should know about the bootstrap. The American Statistician 69(4).
• Lock, R. H. et al.: StatKey (lock5stat.com); Seeing Theory (Brown University): modelos para distribuições amostrais, bootstrap e aleatorização.