Compreender o teste de uma proporção: região crítica, α efetivo, intervalo de predição

Em resumo

Sob H₀, X tem distribuição binomial com n e p₀. A partir do nível de significância α, o cartão determina a região crítica K, isto é, os números de sucessos com os quais H₀ é rejeitada. Exemplo n = 100, p₀ = 0,5, α = 5%, unilateral à direita: K = {59, …, 100}. Com pelo menos 59 sucessos, H₀ é rejeitada.

Região crítica K e α efetivo

• Unilateral à direita (H₁: p > p₀): K = {g, …, n}, com o menor g para o qual P(X ≥ g) ≤ α. Unilateral à esquerda (H₁: p < p₀): K = {0, …, k}, com o maior k para o qual P(X ≤ k) ≤ α. Bilateral (H₁: p ≠ p₀): ambos os lados com α / 2 cada um.
• O α efetivo é a probabilidade com que K ocorre sob H₀. Nunca é superior ao α escolhido, mas muitas vezes é inferior, porque X só assume valores inteiros (4,43% em vez de 5% no exemplo). O Statable mostra-o sempre.
• Se K estiver vazio, aparece: «Com este n, H₀ nunca pode ser rejeitada ao nível α». Isto acontece com n pequeno e α pequeno.

Valor p e decisão

Unilateral, p = P(X ≥ x) ou P(X ≤ x). Bilateral, o Statable duplica o valor unilateral menor: p = min(1; 2 · min(P(X ≤ x), P(X ≥ x))). Assim, x está em K exatamente quando p ≤ α. A decisão e o valor p nunca se contradizem. O R (binom.test) calcula o teste bilateral de outra forma (soma de todas as probabilidades que são no máximo tão grandes como P(X = x)); para p₀ ≠ 0,5, o valor p pode ser menor aí. Exemplo n = 40, p₀ = 0,4, x = 7: duplicação 0,0041, binom.test 0,0033. Para p₀ = 0,5, os dois coincidem.

Não rejeitar não significa que H₀ seja verdadeira

Se x não estiver em K, a frase diz: «Os dados fornecem pouca evidência de que p seja diferente de p₀». Não é uma prova de que H₀ seja verdadeira. «Significativo» só vale em conjunto com o nível a que se diz.

Erro de tipo II e potência

Erro de tipo I: H₀ é rejeitada embora seja verdadeira; a sua probabilidade é o α efetivo. Erro de tipo II: H₀ não é rejeitada embora na realidade valha outra proporção p₁; a sua probabilidade é β = P(X ∉ K | p₁). A potência 1 − β = P(X ∈ K | p₁) é a probabilidade de encontrar a diferença. Exemplo n = 100, p₀ = 0,5, unilateral à direita, p₁ = 0,6: β = 37,75%, potência 62,25%.

Intervalo de predição ou intervalo de confiança?

O intervalo de predição aplica-se quando p é conhecido: dá a gama [a; b] do número de sucessos que ocorre com uma probabilidade de pelo menos 1 − α (inferência para a frente). É a contrapartida da K bilateral. Exemplo n = 100, p₀ = 0,5, 5%: [40; 60], ou seja, proporções de 0,40 a 0,60. O intervalo de confiança aplica-se quando se observa x: dá a gama de p (inferência para trás; cartão «Calcular a partir de valores resumidos»). A aproximação sigma μ ± 1,96 σ é mostrada ao lado para comparação.

Para especialistas

Todos os números são somas binomiais exatas. K é comparado com α com uma tolerância de 1e-7 (como o R em caso de igualdade, por exemplo P = 0,05 exatamente). O valor p bilateral é o método «central» (duplicação); coincide com o intervalo de Clopper-Pearson e está disponível no pacote R exactci como binom.exact(…, tsmethod = «central»). Verificado com o R (qbinom, pbinom, dbinom) e com um ciclo sobre todas as regiões críticas, exemplos impressos: formação de professores de Baden-Württemberg (chips de memória, dados, cantina).

Fontes

• Fay, M. P. (2010): Two-sided exact tests and matching confidence intervals for discrete data. The R Journal 2(1), 53-58.
• KMK: normas de formação em Matemática, acesso geral ao ensino superior (Abitur, 2012), ideia diretriz «dados e acaso»; Lösungswege 8 (ÖBV, manual escolar austríaco), capítulo 7: teste de hipóteses unilateral e bilateral com a distribuição binomial.
• Formação de professores de Baden-Württemberg: testes de hipóteses (estocástica).