Laborator de învățare: eșantioane, bootstrap, experimente aleatorii și tabel de contingență 2 × 2 de încercat

Pe scurt

Laboratorul de învățare joacă întâmplarea de mii de ori și arată ce iese. Are șase file și nu are nevoie de date. Tot ce se arată vine sub formă de grafic, număr și propoziție; nu se salvează nimic.

Sămânța

Toate numerele aleatorii provin din sămânța de sus (implicit 1). Aceeași sămânță, aceleași numere: așa se poate repeta o rulare și compara cu altele. „Din nou (sămânță nouă)” crește sămânța cu 1 și rulează din nou fila deschisă. Sămânța este indicată în fiecare propoziție. Numerele aleatorii nu coincid cu cele din R sau SPSS; aceeași distribuție, alte numere.

Cele șase file

• Eșantioane: din populație (normală, plată, puternic asimetrică, cu două vârfuri, zar sau proporție) se extrag până la 10 000 de eșantioane de dimensiune n. Graficul arată mediile (proporțiile pentru „proporție”) cu curba prevăzută de teorie. Eroarea standard din simulare este apropiată de σ/√n, iar distribuția devine tot mai îngustă și mai asemănătoare unui clopot pe măsură ce n crește (teorema limită centrală).
• Bootstrap: din cel mult 200 de valori introduse se extrag din nou și din nou eșantioane noi, cu înlocuire (de aceeași dimensiune ca seria), notând de fiecare dată media. Intervalul percentil (cuantile de tip 7 din R) este afișat lângă intervalul t. Cu mai puțin de 10 valori, intervalul percentil este adesea prea îngust.
• Randomizare: două grupuri (cel mult 100 de valori fiecare) sunt amestecate din nou și din nou, notând de fiecare dată diferența mediilor. Valoarea p este (numărul diferențelor cel puțin la fel de mari + 1) / (amestecări + 1), astfel încât să nu fie niciodată exact 0. Dacă există cel mult 20 000 de împărțiri posibile, se numără și totul (atunci fără „+1”). Testul t Welch este afișat alături, pentru comparație.
• Experimente aleatorii: monedă, unul sau două zaruri (corecte sau măsluite) și urnă cu sau fără înlocuire (without replacement), până la 100 000 de repetări. Evoluția arată frecvența relativă față de probabilitate (legea numerelor mari); tabelul pune alături frecvențele și probabilitățile exacte.
• Tabel de contingență 2 × 2 și arbore: din prevalență, sensibilitate și specificitate (sau din patru frecvențe), placa construiește tabelul, un arbore cu frecvențe naturale (natural frequencies), arborele inversat, valorile predictive (VPP, VPN) cu calculul Bayes pas cu pas și o verificare a independenței. Dimensiunea de referință este aleasă astfel încât toate numerele să fie întregi (până la 1 000 000); altfel se afișează zecimale, niciodată rotunjite pe tăcute. Exemplu: 1%, 90%, 91% dau o VPP de 9,17%: dintre cei 981 cu rezultat pozitiv, doar 90 sunt bolnavi.
• Intervale de încredere: 100 de intervale (Wilson pentru o proporție, intervalul t pentru o medie) suprapuse, valoarea reală ca linie verticală. Intervalele care acoperă sunt subțiri și pline, cu un cerc, cele care nu acoperă sunt groase și întrerupte, cu un romb. „Încă 100” continuă numărătoarea; totalul se apropie de nivel.

Ce înseamnă „95%”

Nivelul aparține procedurii, nu unui interval individual: pe termen lung, o astfel de procedură acoperă valoarea reală de aproximativ 95 de ori din 100; un interval individual fie o acoperă, fie nu.

Wilson și formula din manual (Wald)

Statable calculează intervalele pentru proporții cu Wilson. Manualele dau adesea aproximarea p̂ ± z·√(p̂(1−p̂)/n) (Wald); aceasta este soluția simplă a inegalității a cărei soluție exactă este intervalul Wilson. De aceea numărul din manual diferă puțin. Exemplu 7 din 40, 95%: Wilson [0,0875; 0,3195], formula din manual [0,0572; 0,2928]. Doar în fila „Intervale de încredere” se poate activa formula din manual pentru comparație; acolo se vede că, la n mic și p mic sau mare, ea acoperă clar mai rar decât nivelul (de exemplu n = 50, p = 5%: Wald 92,0%, Wilson 96,2%).

Limite

• Dimensiunea eșantionului de la 1 la 500, cel mult 100 000 de repetări (calculate pe bucăți, pentru ca pagina să rămână utilizabilă); serii bootstrap de cel mult 200 de valori, randomizare de cel mult 100 pe grup.
• Bootstrap-ul se ocupă doar de medie, randomizarea doar de diferența mediilor. Fără fișiere proprii, nu se salvează nimic.
• Generatorul are 32 de biți; pentru foarte multe extrageri (peste 10⁸) nu ar mai fi suficient, de aici limitele superioare.

Pentru specialiști

Generator: mulberry32; subfluxurile sunt amestecate din (sămânță, număr curent), nu „+1”. Valori normale prin Box-Muller, distribuții discrete prin inversarea funcției de distribuție de la mod spre exterior. Verificat prin proprietăți cu sămânță fixă: uniformitatea generatorului (Kolmogorov-Smirnov), potrivirea hi-pătrat a transformărilor cu distribuțiile calculate în R, eroarea standard, randomizarea în raport cu enumerarea completă (complete enumeration), acoperirea în raport cu probabilitatea de acoperire exactă (sumă peste dbinom). Interval percentil: cuantilă de tip 7 ca în R. Bayes: aritmetică pură, verificată în raport cu R și cu acuratețea diagnostică din date.

Surse

• KMK: standarde educaționale pentru matematică, calificarea generală de admitere la universitate (2012), idee directoare „date și întâmplare” (arbori de probabilități, tabele de contingență 2 × 2, simulări, inferență de la eșantioane la populație).
• Gigerenzer, G. & Hoffrage, U. (1995): How to improve Bayesian reasoning without instruction: frequency formats. Psychological Review 102(4), 684-704.
• Brown, L. D., Cai, T. T. & DasGupta, A. (2001): Interval estimation for a binomial proportion. Statistical Science 16(2), 101-133.
• Phipson, B. & Smyth, G. K. (2010): Permutation p-values should never be zero. Statistical Applications in Genetics and Molecular Biology 9(1).
• Hesterberg, T. C. (2015): What teachers should know about the bootstrap. The American Statistician 69(4).
• Lock, R. H. și colab.: StatKey (lock5stat.com); Seeing Theory (Brown University): modele pentru distribuții de eșantionare, bootstrap și randomizare.