Tanulólabor: minták, bootstrap, véletlen kísérletek és négymezős táblázat kipróbálásra

Röviden

A tanulólabor ezerszer lejátssza a véletlent, és megmutatja, mi jön ki belőle. Hat lapja van, és nem igényel adatokat. Minden, ami látható, ábraként, számként és mondatként jelenik meg; semmi nem kerül mentésre.

A kezdőérték

Az összes véletlenszám a fenti kezdőértékből származik (alapértelmezés 1). Ugyanaz a kezdőérték, ugyanazok a számok: így megismételhető egy futtatás, és összehasonlítható másokkal. Az „Újra (új kezdőérték)” 1-gyel növeli a kezdőértéket, és újra lefuttatja a megnyitott lapot. A kezdőérték minden mondatban szerepel. A véletlenszámok nem egyeznek az R vagy az SPSS véletlenszámaival; ugyanaz az eloszlás, más számok.

A hat lap

• Minták: egy sokaságból (normális, egyenletes, erősen ferde, kétcsúcsú, kocka vagy arány) legfeljebb 10 000, n méretű mintát húzunk. Az ábra az átlagokat (az „arány” esetén az arányokat) mutatja az elmélet által megjósolt görbével. A szimulációból kapott standard hiba közel van σ/√n-hez, és az eloszlás n növekedésével egyre keskenyebb és harangszerűbb lesz (centrális határeloszlás-tétel).
• Bootstrap: legfeljebb 200 beírt értékből újra és újra új mintákat húzunk visszatevéssel (a sorozattal azonos méretben), és minden alkalommal feljegyezzük az átlagot. A percentilis intervallum (az R 7-es típusú kvantilisei) a t-intervallum mellett látható. 10-nél kevesebb érték esetén a percentilis intervallum gyakran túl szűk.
• Randomizáció: két csoportot (egyenként legfeljebb 100 érték) újra és újra összekeverünk, és minden alkalommal feljegyezzük az átlagok különbségét. A p-érték (a legalább ekkora különbségek száma + 1) / (keverések + 1), hogy sosem legyen pontosan 0. Ha legfeljebb 20 000 lehetséges felosztás van, mindent meg is számolunk (ilyenkor „+1” nélkül). Mellette összehasonlításul a Welch-féle t-próba látható.
• Véletlen kísérletek: érme, egy vagy két kocka (szabályos vagy cinkelt) és urna visszatevéssel vagy visszatevés nélkül, legfeljebb 100 000 ismétlés. Az alakulás a relatív gyakoriságot mutatja a valószínűséggel szemben (a nagy számok törvénye); a táblázat egymás mellé teszi a gyakoriságokat és a pontos valószínűségeket.
• Négymezős táblázat és fa: a prevalenciából, az szenzitivitásból és a specificitásból (vagy négy gyakoriságból) a csempe felépíti a táblázatot, a természetes gyakoriságokkal (natural frequencies) készült fát, a megfordított fát, a prediktív értékeket (PPV, NPV) a Bayes-számítással lépésről lépésre, és egy függetlenségi ellenőrzést. A viszonyítási méretet úgy választjuk, hogy minden szám egész legyen (1 000 000-ig); különben tizedesjegyeket mutatunk, sosem csendben kerekítve. Példa: 1%, 90%, 91% PPV-t ad 9,17%: a pozitív eredményt kapó 981 ember közül csak 90 beteg.
• Konfidenciaintervallumok: 100 intervallum (Wilson az aránynál, t-intervallum az átlagnál) egymás alatt, a valódi érték függőleges vonalként. A lefedő intervallumok vékonyak és folytonosak körrel, a nem lefedők vastagok és szaggatottak rombusszal. A „További 100” folytatja a számlálást; az összesített arány a szinthez közelít.

Mit jelent a „95%”

A szint az eljáráshoz tartozik, nem egy egyedi intervallumhoz: hosszú távon egy ilyen eljárás 100-ból kb. 95 esetben fedi le a valódi értéket; egy egyedi intervallum vagy lefedi, vagy nem.

Wilson és a tankönyvi képlet (Wald)

A Statable az arányok intervallumait Wilson szerint számolja. A tankönyvek gyakran a p̂ ± z·√(p̂(1−p̂)/n) közelítést adják (Wald); ez annak az egyenlőtlenségnek az egyszerű megoldása, amelynek pontos megoldása a Wilson-intervallum. Ezért tér el kissé a tankönyvi szám. Példa 7 a 40-ből, 95%: Wilson [0,0875; 0,3195], tankönyvi képlet [0,0572; 0,2928]. Csak a „Konfidenciaintervallumok” lapon kapcsolható be összehasonlításul a tankönyvi képlet; ott látszik, hogy kis n és kicsi vagy nagy p esetén jól láthatóan ritkábban fed le, mint a szint (például n = 50, p = 5%: Wald 92,0%, Wilson 96,2%).

Korlátok

• Mintaméret 1-től 500-ig, legfeljebb 100 000 ismétlés (részletekben számolva, hogy az oldal használható maradjon); bootstrap-sorozatok legfeljebb 200 érték, randomizáció legfeljebb 100 csoportonként.
• A bootstrap csak az átlagot kezeli, a randomizáció csak az átlagok különbségét. Nincsenek saját fájlok, semmi nem kerül mentésre.
• A generátor 32 bites; nagyon sok húzásnál (10⁸ felett) már nem lenne elég, ezért a felső korlátok.

Szakembereknek

Generátor: mulberry32; az alfolyamok (kezdőérték, sorszám) alapján keverednek, nem „+1” szerint. A normális értékek Box-Muller módszerrel, a diszkrét eloszlások az eloszlásfüggvény megfordításával (reverse coding) a móduszból kifelé. Ellenőrzés tulajdonságokkal, rögzített kezdőértékkel: a generátor egyenletessége (Kolmogorov-Szmirnov), az átalakítások khí-négyzet-illeszkedése az R-ben számolt eloszlásokhoz, standard hiba, randomizáció a teljes felsorolással (complete enumeration) szemben, lefedés a pontos lefedési valószínűséggel (coverage) szemben (összeg a dbinom fölött). Percentilis intervallum: 7-es típusú kvantilis, mint az R-ben. Bayes: tiszta számtan, az R-rel és az adatokból számolt diagnosztikai pontossággal (diagnostic accuracy) szemben ellenőrizve.

Források

• KMK: oktatási standardok matematikából, általános egyetemi felvételi képesítés (2012), vezérgondolat „adatok és véletlen” (valószínűségi fák, négymezős táblázatok, szimulációk, következtetés mintákból a sokaságra).
• Gigerenzer, G. & Hoffrage, U. (1995): How to improve Bayesian reasoning without instruction: frequency formats. Psychological Review 102(4), 684-704.
• Brown, L. D., Cai, T. T. & DasGupta, A. (2001): Interval estimation for a binomial proportion. Statistical Science 16(2), 101-133.
• Phipson, B. & Smyth, G. K. (2010): Permutation p-values should never be zero. Statistical Applications in Genetics and Molecular Biology 9(1).
• Hesterberg, T. C. (2015): What teachers should know about the bootstrap. The American Statistician 69(4).
• Lock, R. H. és mások: StatKey (lock5stat.com); Seeing Theory (Brown University): modellek mintavételi eloszlásokhoz, bootstraphez és randomizációhoz.