Calcular distribuciones: probabilidad, cuantil, esperanza

En resumen

Elige una distribución, introduce los parámetros y haz la pregunta: «como máximo (≤)», «menor que (<)», «al menos (≥)», «mayor que (>)», «entre a y b» o «valor de una probabilidad». El resultado aparece como decimal y en porcentaje (0,0443 = 4,43 %), como frase y como gráfico con el área coloreada y rayada o las barras rayadas.

Discreta o continua

• En las distribuciones binomial, de Poisson, hipergeométrica y propia, X cuenta valores enteros. «Como máximo 5» no es entonces lo mismo que «menor que 5»: el propio valor 5 tiene su probabilidad. Este es el error más frecuente en el instituto, por lo que Statable muestra las cuatro preguntas una debajo de otra.
• En las distribuciones normal, t, χ² y F los valores aislados tienen probabilidad 0. «Como máximo» y «menor que» son lo mismo allí, y también «al menos» y «mayor que».

Cuantil

En las distribuciones discretas, el cuantil es el menor valor x con P(X ≤ x) ≥ p (la definición que usa R). Statable muestra la probabilidad realmente alcanzada, porque suele ser algo mayor que p, ya que solo existen valores enteros. No es la región de rechazo de una prueba: esa la determina la tarjeta «Comprender la prueba de una proporción» con la regla del instituto.

Distribución propia

Introduce en una tabla valores x y probabilidades P(x), como decimales o fracciones (1/6). Statable calcula E(X) = Σ x · P(x) y Var(X) = Σ x² · P(x) − E(X)². Si la suma no es 1, no se ajusta nada en silencio: aparece una pregunta sobre si se usaron valores redondeados, con las opciones «Escalar a 1» y «Dejar como está». E(X) es la media a la larga, no el valor más frecuente.

Aproximación normal de la distribución binomial

• La curva normal con μ = n · p y σ = √(n · p · (1 − p)) se superpone a las barras. P(a ≤ X ≤ b) se muestra de forma exacta junto a la aproximación sin y con corrección de continuidad. La corrección calcula de a − ½ a b + ½, porque la barra k va de k − ½ a k + ½; es más exacta, y algunos centros calculan sin ella.
• Condición de validez: si σ es mayor que 3, la aproximación se considera utilizable; en caso contrario es burda. El símbolo ✓ o ! aparece junto al texto, el color por sí solo no transmite información.
• Regla sigma: la tabla muestra 1σ, 2σ, 3σ y los valores del instituto 1,64σ, 1,96σ, 2,58σ con la aproximación y la probabilidad binomial exacta de los límites enteros. Los valores del instituto están redondeados, los exactos son 1,6449, 1,9600 y 2,5758; por eso 1,64σ da solo un 89,9 % aproximadamente y no «90 %».

Esperanza, varianza y desviación típica

Toda distribución muestra μ, σ² y σ. Lo que no existe se indica y no se muestra como «NaN»: la distribución t no tiene esperanza con 1 grado de libertad como máximo ni varianza finita con 2 como máximo; la distribución F tiene esperanza a partir de df₂ > 2 y varianza a partir de df₂ > 4.

Hipergeométrica

Statable rotula N (total de elementos), K (de ellos éxitos) y n (extraídos sin reposición), como se enseña en el instituto. R escribe phyper(q, m, n, k) con m = K éxitos, n = N − K fracasos y k = extraídos; los nombres difieren, el resultado no. Ejemplo, lotería «6 de 49»: N = 49, K = 6, n = 6.

Para especialistas

Densidades según Loader (1999, como en R dbinom, dpois, dhyper), colas sumando desde la moda hacia fuera, funciones beta y gamma con fracciones continuas, distribuciones t y F mediante la función beta. Los cuantiles de las distribuciones continuas coinciden con R con un error relativo de 1e-8, los de las distribuciones discretas exactamente. Comprobado con R y con PSPP; ejemplos impresos: tabla de la función de distribución binomial n = 20, p = 0,3 (F(5) = 0,4164), tabla de la normal estándar.

Fuentes

• KMK (Conferencia Permanente de Ministros de Educación de Alemania): estándares educativos de matemáticas para el acceso general a la universidad (Abitur, 2012), idea directriz «datos y azar» (distribución binomial, esperanza y desviación típica de variables aleatorias discretas, simulaciones).
• Lösungswege 8 (ÖBV, libro de texto austriaco), capítulos 5 a 7: variables aleatorias continuas, distribución normal con aproximación de la distribución binomial.
• Formación del profesorado de Baden-Wurtemberg: distribución binomial y normal, condición de validez de la aproximación, corrección de continuidad.
• Loader, C. (2000): Fast and accurate computation of binomial probabilities.