Διαστήματα bootstrap: percentile και BCa

Εν συντομία

Το bootstrap εξάγει επανειλημμένα νέα δείγματα από τις υπάρχουσες περιπτώσεις (με επανατοποθέτηση), υπολογίζει κάθε φορά ξανά το στατιστικό και παίρνει ένα διάστημα από την κατανομή αυτών των τιμών. Κάτω από κάθε αποτέλεσμα το Statable αναφέρει τον τύπο του διαστήματος, τον αριθμό των εξαγωγών (B) και το seed των τυχαίων αριθμών, ώστε ο υπολογισμός να μπορεί να επαναληφθεί.

Percentile ή BCa;

• Διάστημα εκατοστιαίων ορίων (percentile) (προεπιλογή για τη διαμεσολάβηση): το μεσαίο 95% των εξαγωγών. Ο Hayes το συνιστά από το PROCESS 3, επειδή το διάστημα που διορθώνεται ως προς το bias αυξάνει το ποσοστό σφάλματος στη διαμεσολάβηση (Hayes και Scharkow 2013, Psychological Science 24(10), 1918-1927· Hayes 2022).
• BCa (διορθωμένο ως προς το bias και επιταχυνόμενο, Efron 1987): μετατοπίζει τα όρια με μια διόρθωση bias z0 και μια επιτάχυνση a. Η επιτάχυνση προκύπτει από την παράλειψη μίας περίπτωσης κάθε φορά (jackknife). Το BCa θεωρείται ακριβέστερο για ασύμμετρες κατανομές. Μπορεί να επιλεγεί στις «Περισσότερες επιλογές».

Η τύχη και το seed

Το Statable ξεκινά πάντα τους τυχαίους αριθμούς με το ίδιο seed (20261008). Τα ίδια δεδομένα δίνουν λοιπόν το ίδιο διάστημα. Ένα άλλο seed μετατοπίζει λίγο τα όρια· το κάτω όριο του BCa μεταβάλλεται περισσότερο από το πάνω. Αυτό δεν είναι λάθος αλλά το τυχαίο σφάλμα της μεθόδου, και μικραίνει με περισσότερες εξαγωγές. Οι τυχαίοι αριθμοί του Statable δεν είναι αυτοί του R: ακόμη και με το ίδιο seed οι μεμονωμένες εξαγωγές διαφέρουν, και τα διαστήματα συμφωνούν εντός του τυχαίου σφάλματος.

Τι αναφέρει το Statable

• Άκρη: αν ένα όριο βρίσκεται στην άκρη των εξαγωγών, το BCa πατάει εκεί σε ασταθές έδαφος. Το Statable το λέει και συμβουλεύει περισσότερες εξαγωγές ή το διάστημα εκατοστιαίων ορίων (percentile).
• Δεν υπολογίζεται: αν όλες οι εξαγωγές βρίσκονται στη μία πλευρά της εκτίμησης, το BCa δεν μπορεί να υπολογιστεί. Το Statable δείχνει τότε το διάστημα εκατοστιαίων ορίων (percentile) και το λέει· ένας αριθμός που λείπει δεν εμφανίζεται ποτέ στον πίνακα.
• Πολλές ίδιες εξαγωγές: αν περισσότερο από το 5% των εξαγωγών δίνει ακριβώς την εκτίμηση (τυπικό για τη διάμεσο και τις αναλογίες), το BCa είναι αβέβαιο· το διάστημα εκατοστιαίων ορίων (percentile) είναι τότε η καλύτερη επιλογή.
• Οι άκυρες εξαγωγές (για παράδειγμα χωρίς διακύμανση) δεν μετρούν· ο αριθμός τους αναγράφεται στην παρατήρηση.
• Μικρά δείγματα: με λιγότερα από 30 άτομα τα διαστήματα bootstrap είναι συνήθως πολύ στενά (Hesterberg 2015, The American Statistician 69(4)). Πρέπει να διαβάζονται με προσοχή.

Για ειδικούς

Τα ποσοστημόρια και το BCa ακολουθούν το πακέτο R boot (Canty και Ripley): παρεμβολή στην κανονική κλίμακα ανάμεσα στις διατεταγμένες στατιστικές τάξης (B + 1) · α (boot:::norm.inter), z0 από το μερίδιο των εξαγωγών αυστηρά κάτω από την εκτίμηση, a από το jackknife (empinf, type = "jack"). Ελέγχθηκε: σε σταθερές κατανομές από το R ο υπολογισμός ταυτίζεται με το boot.ci έως 1e-9· οι εξαγωγές του Statable συμφωνούν στατιστικά με μια αναφορά 400 000 εξαγωγών. Το bootstrap στο εργαστήριο μάθησης έχει δική του τυχαία ροή και δεν συνδέεται με αυτή τη βάση. Πηγές: Efron και Tibshirani (1993), An Introduction to the Bootstrap· Davison και Hinkley (1997), Bootstrap Methods and their Application, ενότητα 5.3.