Intervalles bootstrap : percentiles et BCa

En bref

Le bootstrap tire à plusieurs reprises de nouveaux échantillons parmi les observations existantes (avec remise), recalcule chaque fois la statistique et prend un intervalle dans la distribution de ces valeurs. Sous chaque résultat, Statable indique le type d’intervalle, le nombre de tirages (B) et la graine des nombres aléatoires, afin que le calcul puisse être répété.

Percentiles ou BCa ?

• Intervalle par percentiles (choix par défaut pour la médiation) : les 95 % centraux des tirages. Hayes le recommande depuis PROCESS 3, car l’intervalle corrigé du biais augmente le taux d’erreur dans la médiation (Hayes et Scharkow 2013, Psychological Science 24(10), 1918-1927 ; Hayes 2022).
• BCa (corrigé du biais et accéléré, Efron 1987) : décale les limites par une correction de biais z0 et une accélération a. L’accélération provient de l’omission d’une observation à la fois (jackknife). BCa passe pour plus précis avec des distributions asymétriques. On peut le choisir sous « Plus d’options ».

Le hasard et la graine

Statable démarre toujours les nombres aléatoires avec la même graine (20261008). Les mêmes données donnent donc le même intervalle. Une autre graine déplace un peu les limites ; la limite inférieure de BCa varie davantage que la supérieure. Ce n’est pas une erreur, mais l’erreur aléatoire de la méthode, et elle diminue avec plus de tirages. Les nombres aléatoires de Statable ne sont pas ceux de R : même avec la même graine, les tirages individuels diffèrent, et les intervalles concordent dans l’erreur aléatoire.

Ce que Statable indique

• Bord : si une limite se situe au bord des tirages, BCa repose là sur un terrain fragile. Statable le dit et conseille plus de tirages ou l’intervalle par percentiles.
• Non calculable : si tous les tirages se situent d’un seul côté de l’estimation, BCa ne peut pas être calculé. Statable affiche alors l’intervalle par percentiles et le dit ; un nombre manquant n’apparaît jamais dans le tableau.
• Beaucoup de tirages égaux : si plus de 5 % des tirages donnent exactement l’estimation (typique pour la médiane et les proportions), BCa est incertain ; l’intervalle par percentiles est alors le meilleur choix.
• Les tirages invalides (par exemple sans variation) ne comptent pas ; leur nombre est indiqué dans la remarque.
• Petits échantillons : avec moins de 30 personnes, les intervalles bootstrap sont en général trop étroits (Hesterberg 2015, The American Statistician 69(4)). Ils sont à lire avec prudence.

Pour les spécialistes

Les quantiles et BCa suivent le paquet R boot (Canty et Ripley) : interpolation sur l’échelle normale entre les statistiques d’ordre de rang (B + 1) · α (boot:::norm.inter), z0 à partir de la part des tirages strictement inférieurs à l’estimation, a à partir du jackknife (empinf, type = "jack"). Vérifié : sur des distributions fixes issues de R, le calcul concorde avec boot.ci à 1e-9 ; les tirages de Statable concordent statistiquement avec une référence de 400 000 tirages. Le bootstrap du laboratoire d’apprentissage a son propre flux aléatoire et n’est pas lié à cette base. Sources : Efron et Tibshirani (1993), An Introduction to the Bootstrap ; Davison et Hinkley (1997), Bootstrap Methods and their Application, section 5.3.