Intervalli bootstrap: percentile e BCa

In breve

Il bootstrap estrae ripetutamente nuovi campioni dai casi esistenti (con reinserimento), ricalcola ogni volta la statistica e ricava un intervallo dalla distribuzione di questi valori. Sotto ogni risultato Statable indica il tipo di intervallo, il numero di estrazioni (B) e il seed dei numeri casuali, in modo che il calcolo possa essere ripetuto.

Percentile o BCa?

• Intervallo percentile (predefinito per la mediazione): il 95% centrale delle estrazioni. Hayes lo raccomanda dal PROCESS 3 perché l’intervallo corretto per il bias aumenta il tasso di errore nella mediazione (Hayes e Scharkow 2013, Psychological Science 24(10), 1918-1927; Hayes 2022).
• BCa (corretto per il bias e accelerato, Efron 1987): sposta i limiti con una correzione del bias z0 e un’accelerazione a. L’accelerazione deriva dall’esclusione di un caso alla volta (metodo jackknife). BCa è considerato più accurato con distribuzioni asimmetriche. Si può scegliere sotto «Altre opzioni».

Il caso e il seed

Statable avvia sempre i numeri casuali con lo stesso seed (20261008). Gli stessi dati danno quindi lo stesso intervallo. Un altro seed sposta un po’ i limiti; il limite inferiore di BCa varia più di quello superiore. Non è un errore, ma l’errore casuale del metodo, e diminuisce con più estrazioni. I numeri casuali di Statable non sono quelli di R: anche con lo stesso seed le singole estrazioni differiscono, e gli intervalli concordano entro l’errore casuale.

Che cosa riporta Statable

• Bordo: se un limite si trova sul bordo delle estrazioni, BCa lì poggia su un terreno malsicuro. Statable lo dice e consiglia più estrazioni o l’intervallo percentile.
• Non calcolabile: se tutte le estrazioni cadono da un solo lato della stima, BCa non si può calcolare. Statable mostra allora l’intervallo percentile e lo dice; un numero mancante non compare mai nella tabella.
• Molte estrazioni uguali: se più del 5% delle estrazioni dà esattamente la stima (tipico per la mediana e per le proporzioni), BCa è incerto; l’intervallo percentile è allora la scelta migliore.
• Le estrazioni non valide (per esempio senza variazione) non contano; il loro numero è indicato nella nota.
• Piccoli campioni: con meno di 30 persone gli intervalli bootstrap sono di solito troppo stretti (Hesterberg 2015, The American Statistician 69(4)). Vanno letti con cautela.

Per specialisti

Quantili e BCa seguono il pacchetto R boot (Canty e Ripley): interpolazione sulla scala normale tra le statistiche d’ordine di rango (B + 1) · α (boot:::norm.inter), z0 dalla quota di estrazioni strettamente inferiori alla stima, a dal metodo jackknife (empinf, type = "jack"). Verificato: su distribuzioni fisse di R il calcolo coincide con boot.ci fino a 1e-9; le estrazioni di Statable concordano statisticamente con un riferimento di 400.000 estrazioni. Il bootstrap nel laboratorio di apprendimento ha un proprio flusso casuale e non è collegato a questa base. Fonti: Efron e Tibshirani (1993), An Introduction to the Bootstrap; Davison e Hinkley (1997), Bootstrap Methods and their Application, sezione 5.3.