Bootstrap-Intervalle: Perzentil und BCa

Kurz

Der Bootstrap zieht aus den vorhandenen Fällen immer wieder neue Stichproben (mit Zurücklegen), rechnet die Kennzahl jedes Mal neu und nimmt aus der Verteilung dieser Werte ein Intervall. Statable nennt unter jedem Ergebnis die Art des Intervalls, die Zahl der Ziehungen (B) und den Startwert des Zufalls, damit die Rechnung wiederholbar ist.

Perzentil oder BCa?

• Perzentil-Intervall (Voreinstellung bei der Mediation): die mittleren 95 % der Ziehungen. Hayes empfiehlt es seit PROCESS 3, weil das bias-korrigierte Intervall die Fehlerquote bei der Mediation erhöht (Hayes & Scharkow 2013, Psychological Science 24(10), 1918-1927; Hayes 2022).
• BCa (verzerrungskorrigiert und beschleunigt, Efron 1987): verschiebt die Grenzen um eine Verzerrungskorrektur z0 und eine Beschleunigung a. Die Beschleunigung kommt aus dem Weglassen je eines Falls (Jackknife). BCa gilt bei schiefen Verteilungen als genauer. Es ist unter „Weitere Wege“ wählbar.

Der Zufall und der Startwert

Statable startet den Zufall immer mit demselben Startwert (20261008). Dieselben Daten ergeben darum dasselbe Intervall. Ein anderer Startwert verschiebt die Grenzen ein wenig; die untere BCa-Grenze schwankt dabei stärker als die obere. Das ist kein Fehler, sondern der Zufallsfehler des Verfahrens und wird mit mehr Ziehungen kleiner. Der Zufall von Statable ist nicht der von R: Auch bei gleichem Startwert sind die einzelnen Ziehungen verschieden, die Intervalle stimmen im Rahmen des Zufallsfehlers überein.

Was Statable meldet

• Rand: Liegt eine Grenze am Rand der Ziehungen, steht BCa dort auf wackligem Boden. Statable sagt es und rät zu mehr Ziehungen oder zum Perzentil-Intervall.
• Nicht berechenbar: Liegen alle Ziehungen auf einer Seite des Schätzwerts, lässt sich BCa nicht berechnen. Statable zeigt dann das Perzentil-Intervall und sagt es; nie steht eine fehlende Zahl in der Tabelle.
• Viele gleiche Ziehungen: Kommt in mehr als 5 % der Ziehungen genau der Schätzwert heraus (typisch beim Median und bei Anteilen), ist BCa unsicher; dann ist das Perzentil-Intervall die bessere Wahl.
• Ungültige Ziehungen (zum Beispiel ohne Streuung) zählen nicht mit; ihre Zahl steht im Hinweis.
• Kleine Stichproben: Bei weniger als 30 Personen sind Bootstrap-Intervalle meist zu schmal (Hesterberg 2015, The American Statistician 69(4)). Die Intervalle sind vorsichtig zu lesen.

Für Fachleute

Quantile und BCa folgen dem R-Paket boot (Canty & Ripley): Interpolation auf der Normalskala zwischen den Ordnungsstatistiken zum Rang (B + 1) · α (boot:::norm.inter), z0 aus dem Anteil der Ziehungen strikt unter dem Schätzwert, a aus dem Jackknife (empinf, type = "jack"). Geprüft: an festen Verteilungen aus R trifft die Rechnung boot.ci auf 1e-9; die Ziehungen von Statable stimmen statistisch mit einer Referenz mit 400 000 Ziehungen überein. Der Lernlabor-Bootstrap hat einen eigenen Zufallsstrom und ist nicht mit dieser Grundlage verbunden. Quellen: Efron & Tibshirani (1993), An Introduction to the Bootstrap; Davison & Hinkley (1997), Bootstrap Methods and their Application, Abschn. 5.3.