Le groupe d’une observation peut-il être reconnu à partir de nombres ? (analyse discriminante)

En bref

Des étudiants qui abandonnent peuvent-ils être reconnus à leur motivation, leurs connaissances préalables et leur temps d’étude ? L’analyse discriminante cherche, à partir de plusieurs nombres, des fonctions qui séparent au mieux les groupes, attribue chaque cas à un groupe et montre par le taux de classement correct à quelle fréquence c’est juste.

Comment cela fonctionne dans Statable

1. « Nouvelle analyse » (bouton après les onglets), puis choisissez la carte « Le groupe d’une observation peut-il être reconnu à partir de nombres ? ».
2. « Quel groupe faut-il reconnaître ? » : la colonne des groupes. « À partir de quels nombres ? » : au moins deux colonnes de nombres.
3. Le résultat s’affiche tout seul. Ce qui compte, c’est le taux de classement correct du contrôle sans le cas lui-même (leave-one-out), non celui « appris ».

À quoi ressemble le tableau

Une ligne par observation, une colonne avec le groupe (2 à 12 groupes) et au moins deux colonnes de nombres (au plus 30). Les lignes avec une lacune dans l’un des nombres ne sont pas incluses ; leur nombre est indiqué dans le résultat. Statable ne calcule pas si un groupe a moins d’observations que le nombre de colonnes numériques plus 1, si un groupe n’a qu’une observation ou si une colonne numérique est constante ou peut être calculée à partir des autres. La raison est alors donnée dans une phrase.

Lire le résultat

• Taux de réussite : deux valeurs sont côte à côte. La valeur « sur les données d’apprentissage » est trop optimiste, car les mêmes observations ont servi à apprendre et à vérifier. Ce qui compte, c’est la vérification sans l’observation elle-même (leave-one-out) : chaque observation est vérifiée avec un classement qui ne la connaît pas. Statable donne aussi le taux qui serait possible sans aucun calcul en prédisant toujours le plus grand groupe. Le calcul n’aide que si la vérification est nettement au-dessus.
• Valeurs propres et corrélation canonique : la première fonction sépare le plus fortement les groupes. La part dit quelle proportion de la séparation lui revient ; la corrélation canonique se situe entre 0 et 1, plus elle est élevée, plus la séparation est forte.
• Λ de Wilks : il teste si les fonctions séparent les groupes. Un petit Λ avec un petit p plaide en ce sens. La première ligne teste toutes les fonctions ensemble, la suivante celles qui restent après la première.
• Coefficients standardisés : ils montrent quels nombres portent le plus une fonction. Le signe d’une fonction est arbitraire : Statable rend positif le premier coefficient de chaque fonction. SPSS peut montrer le signe opposé ; le message reste le même.
• Tableau de classement : les lignes sont les vrais groupes, les colonnes les groupes prédits. Il montre quels groupes sont confondus.

Probabilité a priori

Sous « Plus d’options », vous pouvez choisir si le classement traite tous les groupes de la même façon (par défaut, comme dans SPSS) ou selon la taille des groupes. Cela ne change que le classement et le taux de réussite, pas les fonctions, les valeurs propres et le Λ de Wilks.

Différence avec SPSS

Les fonctions, les valeurs propres, le Λ de Wilks et les coefficients standardisés sont les mêmes (au signe près). Le classement avec la même probabilité a priori et la vérification sans l’observation elle-même concordent aussi.

Conditions et limites

• Le calcul suppose des covariances égales dans les groupes et des nombres approximativement normaux. Statable ne le vérifie pas par un test.
• Avec moins de 20 observations par colonne numérique, le résultat peut être instable. Statable le signale.
• L’analyse discriminante décrit les données à partir desquelles elle apprend. La qualité du classement de nouvelles observations ne se voit que par une vérification sur d’autres observations ; le leave-one-out s’en approche.

Rapporter le résultat

Λ de Wilks = ,023, χ²(8) = 546,12, p < ,001 ; leave-one-out 98,0 % correct (plus grand groupe 33,3 %)

Exemples typiques

• Étudiants avec et sans abandon, selon la motivation, les connaissances préalables et le temps d’étude.
• Distinguez trois types d’apprenants selon les résultats de plusieurs tests.

Pour les spécialistes

R (MASS::lda) avec la probabilité a priori par défaut, pour que les fonctions, les valeurs propres et le Λ de Wilks ne dépendent pas de la taille des groupes (comme dans SPSS). Valeur propre = svd² · (k - 1)/(n - k) ; Λ par étape comme produit des 1/(1 + valeur propre) ; χ² = -(n - 1 - (p + k)/2) · ln Λ. Classement avec predict et la probabilité a priori choisie, leave-one-out avec lda(CV = TRUE). Vérifié sur iris et biopsy par rapport au calcul manuel et à SPSS.