Чи зберігається зв’язок, коли третя змінна стала? (Мантель-Генцель)

Коротко

Інколи зв’язок існує лише тому, що задіяна третя змінна. Відомий приклад: в Університеті Каліфорнії в Берклі 1973 року чоловіків приймали частіше, ніж жінок (відношення шансів 1,84). Після розділення за предметами різниця зникає (спільне відношення шансів 0,90): жінки частіше подавали на предмети з низькою часткою прийнятих (парадокс Сімпсона). У «Більше параметрів» таблиці спряженості для цього є вибір «Розділити за третім стовпцем (страта)».

Що показує Statable

• Таблиця для кожної страти з власним відношенням шансів (інтервал Вулфа) і поруч - відношення шансів без розділення (нескориговане (unadjusted)) та спільне відношення шансів (скориговане).
• Критерій Мантеля-Генцеля (CMH): перевіряє, чи дорівнює спільне відношення шансів 1. За замовчуванням із поправкою на неперервність (можна вимкнути). SPSS завжди віднімає поправку; Statable - лише коли відхилення становить щонайменше 0,5 (як R). Різниця в χ² менша за 0,02.
• Як «Mantel-Haenszel» SPSS показує значення з поправкою на неперервність (тут вона типова), а також значення «Cochran». «Cochran» - це окрема формула (у кожній страті вона ділить на n, а не на n - 1), а не значення Mantel-Haenszel без поправки; обидва значення близькі. Приклад - вступ до Berkeley (6 факультетів): з поправкою 1,4269 (SPSS 1,427), без поправки 1,5246; «Cochran» у SPSS 1,527.
• Спільне відношення шансів (оцінка Мантеля-Генцеля) з інтервалом Robins, Breslow і Greenland. Воно лишається визначеним навіть за порожньої клітинки в страті; Statable не виправляє мовчки (без поправки Голдейна).
• Критерій Бреслоу-Дея (Breslow-Day test) з поправкою Тарона (Tarone correction): перевіряє, чи однакові відношення шансів у стратах.
• Графік відношень шансів страт (лісовий графік, логарифмічна вісь).

Спільне відношення шансів - лише підсумок

Якщо відношення шансів у стратах виразно різняться (у прикладі з Берклі предмет A сильно відхиляється), спільне відношення шансів підсумовує їх лише приблизно. Statable попереджає, коли критерій Бреслоу-Дея (Breslow-Day test) з поправкою Тарона (Tarone correction) дає p < ,05. І навпаки, «p > ,05» - не дозвіл об’єднувати: за малої кількості спостережень у страті критерій слабкий. Тому графік страт завжди стоїть поруч.

Який стовпець є групою, а який - подією?

Як і для мір ризику, у результаті можна вибрати, який стовпець задає групи, яка група порівнюється з іншою і яка відповідь є подією. Це обертає відношення шансів (0,90 стає 1,11); критерій і критерій Бреслоу-Дея (Breslow-Day test) лишаються тими самими.

Більші таблиці

Для таблиць більших за два на два Statable обчислює узагальнений критерій Мантеля-Генцеля (загальний зв’язок, Landis, Heyman і Koch 1978) з (рядки − 1) · (стовпці − 1) ступенями вільності. Спільне відношення шансів існує лише для таблиць два на два.

Обмеження

• Стовпець страти має від 2 до 20 рівнів. Страта лише з одним спостереженням не включається (Statable це називає). Якщо в кожній страті є порожній рядок чи стовпець, критерію немає.
• Якщо сума перехресних добутків ad/n або bc/n дорівнює нулю, спільне відношення шансів оцінити неможливо: тоді Statable не показує ні значення, ні інтервалу.
• Вага спостереження: з вагою частоти клітинки в кожній страті - зважені кількості (цілі числа). З вагою вибірки критерій заблоковано.
• Не включено: точний умовний критерій і перевірка однорідності за Вулфом.

Подання результату

Мантель-Генцель χ²(1) = 1,43, p = ,232; спільне OR = 0,90, 95% ДІ [0,77; 1,06]; критерій Бреслоу-Дея (Breslow-Day test) (Тарон) χ²(5) = 18,83, p = ,002

Приклад: «Після розділення за предметом дані не показують зв’язку між статтю та вступом (Мантель-Генцель χ²(1) = 1,43, p = ,232; спільне OR = 0,90, 95% ДІ [0,77; 1,06]). Відношення шансів предметів, проте, відрізняються (критерій Бреслоу-Дея (Breslow-Day test) з поправкою Тарона (Tarone correction) χ²(5) = 18,83, p = ,002); спільне OR підсумовує їх лише приблизно.»

Для фахівців

Власний код (JavaScript), бо PSPP цього критерію не обчислює. Перевірено за R (mantelhaen.test, metafor::rma.mh, DescTools::BreslowDayTest) і формулами з документації IBM (SPSS Algorithms, CROSSTABS); приклад даних - набір даних R UCBAdmissions (Bickel, Hammel і O’Connell 1975).

Джерела

Mantel, N., & Haenszel, W. (1959). Statistical aspects of the analysis of data from retrospective studies of disease. Journal of the National Cancer Institute, 22, 719-748. Robins, J., Breslow, N., & Greenland, S. (1986). Estimators of the Mantel-Haenszel variance consistent in both sparse data and large-strata limiting models. Biometrics, 42, 311-323. Breslow, N. E., & Day, N. E. (1980). Statistical Methods in Cancer Research, Vol. 1. IARC. Tarone, R. E. (1985). On heterogeneity tests based on efficient scores. Biometrika, 72, 91-95. Landis, J. R., Heyman, E. R., & Koch, G. G. (1978). Average partial association in three-way contingency tables. International Statistical Review, 46, 237-254. Bickel, P. J., Hammel, E. A., & O’Connell, J. W. (1975). Sex bias in graduate admissions: data from Berkeley. Science, 187, 398-404. Agresti, A. (2013). Categorical Data Analysis (3rd ed.), chap. 6. Wiley.