Сила зв’язку в таблиці спряженості (гамма, тау, d Сомерса, лямбда, коефіцієнт невизначеності)

Коротко

Критерій хі-квадрат каже, чи пов’язані дві категоріальні ознаки; він не каже, наскільки сильно. У «Більше параметрів» до питання «Чи трапляється щось у різних групах з різною частотою?» є розділ «Сила зв’язку». Statable пропонує міру, що відповідає рівню вимірювання двох стовпців; інші можна ввімкнути. Результат - таблиця зі значенням, 95%-м інтервалом, тестовою статистикою T і p, а також речення.

Яка міра підходить?

• Дві впорядковані змінні (оцінки, рівні) з однаковою кількістю рівнів: τb Кендала. Він враховує зв’язані ранги (tied ranks) (однакові значення) і може досягти ±1 лише в квадратних таблицях.
• Різна кількість рядків і стовпців: τc Кендала (Stuart) або d Сомерса.
• Одна змінна є залежною (наприклад, іспит за оцінкою): d Сомерса, спрямований. Він запитує, наскільки більше узгоджених пар, ніж неузгоджених, якщо дивитися на залежну змінну. Statable показує обидва напрями.
• Гамма ігнорує пари з однаковим значенням, тому зазвичай виходить вищою; ніколи не є типовою. У таблиці два на два гамма збігається з Q Юла.
• Номінальні змінні (групи без порядку): V Крамера вже є; додатково коефіцієнт невизначеності (Тейла), який показує частку з’ясованої невизначеності, а на запит - лямбда.
• Дві групи й впорядкована відповідь: краще підходить ранговий критерій (rank test) (Манна-Уітні) з розміром ефекту d = 2 · AUC − 1.

Порядкові міри залежать від порядку

Statable читає рядки й стовпці так, як вони стоять у таблиці: від низького до високого. Для чисел із підписами це порядок чисел. Текст Statable сортує за абеткою, тож «високий» стояв би перед «середній», а той - перед «низький». Тому рівні мають мати числа з підписами (опис стовпців), перш ніж читати порядкові міри. Коли текстовий стовпець вважається впорядкованим, з’являється попередження.

Інтервал і критерій

• Інтервал - це значення ± 1,96 · стандартна похибка за знайденої сили (ASE1), обмежений від −1 до 1 (гамма, тау, d) або від 0 до 1 (лямбда, UC). Критерій використовує T = значення / стандартна похибка за «відсутності зв’язку» (ASE0). Дві стандартні похибки різняться; тому інтервал може містити 0, хоча p нижче за ,05, особливо за сильного зв’язку.
• Гамма, тау-b, тау-c і d Сомерса мають однакове T, а отже однакове p. Тому Statable показує критерій один раз у рядку «Критерій (порядкові міри)», як і SPSS. Картка рангової кореляції обчислює p для τb з іншою, так само слушною дисперсією; за сильного зв’язку й багатьох зв’язаних рангів (tied ranks) вони різняться.
• Симетричний d Сомерса не має інтервалу: PSPP не дає для нього стандартної похибки, а наближення, яке використовує SPSS, відрізняється від точного обчислення. Спрямований d має інтервал і зазвичай є розумнішою мірою.
• p коефіцієнта невизначеності походить із критерію відношення правдоподібності (G²), як у SPSS (виноска «Likelihood ratio chi-square probability»); T поруч не належить до цього p.

Лямбда - не міра сили

Лямбда показує, наскільки зменшуються помилки в прогнозі найпоширенішої відповіді, коли група відома. Якщо в кожній групі найпоширенішою є та сама відповідь, λ = 0 - навіть за виразного зв’язку. Приклад: 90 до 10 в одній групі, 60 до 40 в іншій: λ (відповідь за групою) = 0, але V = ,35, критерій хі-квадрат p < ,001, OR = 6. Тоді Statable показує значення 0 без інтервалу й без критерію та додає речення: «Це не означає, що зв’язку немає.» Тому лямбду ніколи не пропонують.

Особливі випадки

• Менше двох рядків чи стовпців зі спостереженнями: міри немає. Statable каже про це замість того, щоб показувати «обчислити неможливо».
• Досконалий зв’язок: гамма й τb дорівнюють 1, інтервал [1; 1] - без розкиду він не має сенсу. τc менше (прямокутні таблиці).
• Менше ніж 30 спостережень або більш ніж одна клітинка з п’яти з менш ніж 5 очікуваними спостереженнями: інтервал є наближенням для великих вибірок.
• Вага спостереження: з вагою частоти Statable обчислює зважену таблицю (N = сума ваг). З вагою вибірки розділ заблоковано, бо стандартні похибки й критерії потребують вибіркового плану.

Подання результату

τb = ,41, 95% ДІ [,27; ,56], p < ,001; N = 112

Приклад: «Що вищий рівень освіти, то вищий зазвичай рівень задоволеності (τb Кендала = ,41, 95% ДІ [,27; ,56], p < ,001; N = 112).» Не формулюйте це причинно.

Для фахівців

PSPP обчислює міри (CROSSTABS з GAMMA, D, BTAU, CTAU, LAMBDA, UC); Statable читає таблиці «Symmetric Measures» і «Directional Measures» за їхніми підписами й визначає напрям за назвою залежної змінної, ніколи за порядком. Інтервал і p додаються там, де PSPP їх не дає (гамма, тау). Перевірено за формулами з документації IBM (SPSS Algorithms, CROSSTABS), числовим дельта-методом і надрукованими прикладами з посібника «IBM SPSS Exact Tests» (куріння, партія). DescTools відхиляється в шостому знаку для τb і d і не є еталоном для цих двох.

Джерела

Goodman, L. A., & Kruskal, W. H. (1954). Measures of association for cross classifications. Journal of the American Statistical Association, 49, 732-764. Kendall, M. G. (1945). The treatment of ties in ranking problems. Biometrika, 33, 239-251. Stuart, A. (1953). The estimation and comparison of strengths of association in contingency tables. Biometrika, 40, 105-110. Somers, R. H. (1962). A new asymmetric measure of association for ordinal variables. American Sociological Review, 27, 799-811. Theil, H. (1970). On the estimation of relationships involving qualitative variables. American Journal of Sociology, 76, 103-154. Brown, M. B., & Benedetti, J. K. (1977). Sampling behavior of tests for correlation in two-way contingency tables. Journal of the American Statistical Association, 72, 309-315. Agresti, A. (2010). Analysis of Ordinal Categorical Data (2nd ed.). Wiley. IBM (2014). SPSS Statistics Algorithms: CROSSTABS. Mehta, C., & Patel, N. IBM SPSS Exact Tests, chapters 13 to 15.