Force de l’association dans le tableau croisé (gamma, tau, d de Somers, lambda, coefficient d’incertitude)

En bref

Le test du khi-deux indique si deux caractéristiques catégorielles sont liées ; il n’indique pas à quel point. Sous « Plus d’options » de la question « Quelque chose apparaît-il plus ou moins souvent selon les groupes ? », vous trouvez la section « Force de l’association ». Statable propose la mesure qui convient au niveau de mesure des deux colonnes ; les autres peuvent être activées. Le résultat est un tableau avec valeur, intervalle à 95 %, statistique de test T et p, plus une phrase.

Quelle mesure convient ?

• Deux variables ordonnées (notes, niveaux) ayant le même nombre de modalités : tau b de Kendall. Il tient compte des ex aequo et ne peut atteindre ±1 que dans des tableaux carrés.
• Nombre de lignes différent du nombre de colonnes : tau c de Kendall (Stuart) ou d de Somers.
• Une variable est la variable dépendante (par exemple examen selon la note) : d de Somers, asymétrique. Il demande combien de paires concordantes de plus que de paires discordantes il y a en regardant la variable dépendante. Statable montre les deux sens.
• Gamma ignore les paires de même valeur et ressort donc généralement plus élevé ; jamais proposé par défaut. Avec deux fois deux cellules, gamma est identique au Q de Yule.
• Variables nominales (groupes sans ordre) : le V de Cramér est déjà là ; en plus le coefficient d’incertitude (Theil), qui montre la part d’incertitude levée, et, sur demande, lambda.
• Deux groupes et une réponse ordonnée : un test de rangs (Mann-Whitney) avec la taille d’effet d = 2 · AUC − 1 convient mieux.

Les mesures ordinales dépendent de l’ordre

Statable lit les lignes et les colonnes comme elles figurent dans le tableau : du plus bas au plus haut. Pour des nombres avec étiquettes, c’est l’ordre des nombres. Pour du texte, Statable trie par ordre alphabétique, si bien que « élevé » viendrait avant « moyen », lui-même avant « faible ». Les modalités doivent donc avoir des nombres avec étiquette (Décrire les colonnes) avant que les mesures ordinales ne soient lues. Un avertissement s’affiche quand une colonne de texte est traitée comme ordonnée.

Intervalle et test

• L’intervalle est la valeur ± 1,96 · erreur standard à la force observée (ASE1), limité à −1 à 1 (gamma, tau, d) ou à 0 à 1 (lambda, UC). Le test utilise T = valeur / erreur standard sous « aucune association » (ASE0). Les deux erreurs standard diffèrent ; l’intervalle peut donc contenir 0 alors que p est inférieur à ,05, surtout avec une association forte.
• Gamma, tau b, tau c et d de Somers partagent le même T et donc le même p. Statable affiche donc le test une seule fois, dans la ligne « Test (mesures ordinales) », comme SPSS. La carte de corrélation de rangs calcule le p de τb avec une autre variance, tout aussi valable ; avec une association forte et beaucoup d’ex aequo, les deux diffèrent.
• Le d de Somers symétrique n’a pas d’intervalle : PSPP ne donne pas d’erreur standard pour lui, et l’approximation utilisée par SPSS diffère du calcul exact. Le d asymétrique en a un et c’est généralement la mesure la plus judicieuse.
• Le p du coefficient d’incertitude provient du test du rapport de vraisemblance (G²), comme dans SPSS (note de bas de tableau « Likelihood ratio chi-square probability ») ; le T à côté n’appartient pas à ce p.

Lambda n’est pas une mesure de force

Lambda montre de combien les erreurs de prédiction de la réponse la plus fréquente diminuent quand le groupe est connu. Si la même réponse est la plus fréquente dans chaque groupe, λ = 0 - même avec une association nette. Exemple : 90 contre 10 dans un groupe, 60 contre 40 dans l’autre : λ (réponse selon le groupe) = 0, mais V = ,35, test du khi-deux p < ,001, OR = 6. Statable affiche alors la valeur 0 sans intervalle et sans test et ajoute la phrase : « Cela ne signifie pas qu’il n’y a pas d’association. » C’est pourquoi lambda n’est jamais proposé.

Cas particuliers

• Moins de deux lignes ou colonnes contenant des observations : il n’y a aucune mesure. Statable le dit au lieu d’afficher « non calculable ».
• Association parfaite : gamma et τb valent 1, l’intervalle est [1 ; 1] - sans dispersion, il n’a pas de sens. τc est plus petit (tableaux rectangulaires).
• Moins de 30 observations ou plus d’une cellule sur cinq avec moins de 5 observations attendues : l’intervalle est une approximation valable pour de grands échantillons.
• Poids de l’observation : avec un poids de fréquence, Statable calcule le tableau pondéré (N = somme des poids). Avec un poids de sondage, la section est bloquée, car les erreurs standard et les tests demandent le plan d’échantillonnage.

Rapporter le résultat

τb = ,41, IC à 95 % [,27 ; ,56], p < ,001 ; N = 112

Exemple : « Plus le niveau de formation est élevé, plus le niveau de satisfaction tend à être élevé (tau b de Kendall = ,41, IC à 95 % [,27 ; ,56], p < ,001 ; N = 112). » Ne le formulez pas de façon causale.

Pour les spécialistes

PSPP calcule les mesures (CROSSTABS avec GAMMA, D, BTAU, CTAU, LAMBDA, UC) ; Statable lit les tableaux « Symmetric Measures » et « Directional Measures » d’après leurs libellés et attribue le sens d’après le nom de la variable dépendante, jamais d’après l’ordre. L’intervalle et le p sont ajoutés là où PSPP ne les donne pas (gamma, tau). Recoupé avec les formules de la documentation IBM (SPSS Algorithms, CROSSTABS), une méthode delta numérique et les exemples imprimés du manuel « IBM SPSS Exact Tests » (tabagisme, parti). DescTools s’écarte à la sixième décimale pour τb et d et n’est pas la référence pour ces deux mesures.

Sources

Goodman, L. A., & Kruskal, W. H. (1954). Measures of association for cross classifications. Journal of the American Statistical Association, 49, 732-764. Kendall, M. G. (1945). The treatment of ties in ranking problems. Biometrika, 33, 239-251. Stuart, A. (1953). The estimation and comparison of strengths of association in contingency tables. Biometrika, 40, 105-110. Somers, R. H. (1962). A new asymmetric measure of association for ordinal variables. American Sociological Review, 27, 799-811. Theil, H. (1970). On the estimation of relationships involving qualitative variables. American Journal of Sociology, 76, 103-154. Brown, M. B., & Benedetti, J. K. (1977). Sampling behavior of tests for correlation in two-way contingency tables. Journal of the American Statistical Association, 72, 309-315. Agresti, A. (2010). Analysis of Ordinal Categorical Data (2e éd.). Wiley. IBM (2014). SPSS Statistics Algorithms: CROSSTABS. Mehta, C., & Patel, N. IBM SPSS Exact Tests, chapitres 13 à 15.