Stärke des Zusammenhangs in der Kreuztabelle (Gamma, Tau, Somers' d, Lambda, Unsicherheitskoeffizient)

Kurz

Der Chi-Quadrat-Test sagt, ob zwei Kategorien-Merkmale zusammenhängen; wie stark, sagt er nicht. Unter „Weitere Wege“ der Frage „Kommt etwas in Gruppen unterschiedlich oft vor?“ gibt es den Abschnitt „Stärke des Zusammenhangs“. Statable schlägt das Maß vor, das zum Messniveau der beiden Spalten passt; die anderen lassen sich zuschalten. Das Ergebnis ist eine Tabelle mit Wert, 95 %-Intervall, Prüfgröße T und p, dazu ein Satz.

Welches Maß passt?

• Zwei geordnete Variablen (Noten, Stufen), gleich viele Stufen: Kendalls τb. Es rechnet Bindungen (gleiche Werte) mit und kann nur in quadratischen Tabellen ±1 erreichen.
• Ungleich viele Zeilen und Spalten: Kendalls τc (Stuart) oder Somers' d.
• Eine Variable ist die abhängige (zum Beispiel Prüfung nach Note): Somers' d, gerichtet. Es fragt, wie viel mehr gleichgerichtete als gegenläufige Paare es gibt, wenn man auf die abhängige Variable schaut. Statable zeigt beide Richtungen.
• Gamma ignoriert Paare mit gleichem Wert und fällt darum meist höher aus; nie als Voreinstellung. Bei zwei mal zwei Feldern ist Gamma dasselbe wie Yules Q.
• Nominale Variablen (Gruppen ohne Reihenfolge): Cramérs V gibt es schon; dazu der Unsicherheitskoeffizient (Theil), der den Anteil der aufgeklärten Unsicherheit zeigt, und auf Wunsch Lambda.
• Zwei Gruppen und eine geordnete Antwort: dafür passt ein Rangtest (Mann-Whitney) mit dem Effektmaß d = 2 · AUC − 1 besser.

Ordinale Maße hängen von der Reihenfolge ab

Statable liest die Zeilen und Spalten so, wie sie in der Tabelle stehen: von niedrig nach hoch. Bei Zahlen mit Beschriftung ist das die Reihenfolge der Zahlen. Bei Text ordnet Statable alphabetisch, dann stünde „hoch“ vor „mittel“ vor „niedrig“. Darum sollten die Stufen Zahlen mit Beschriftung haben (Spalten beschreiben), bevor ordinale Maße gelesen werden. Eine Warnung erscheint, wenn eine Textspalte als geordnet gilt.

Intervall und Test

• Das Intervall ist Wert ± 1,96 · Standardfehler bei der gefundenen Stärke (ASE1), begrenzt auf −1 bis 1 (Gamma, Tau, d) bzw. 0 bis 1 (Lambda, UC). Der Test nutzt T = Wert / Standardfehler unter „kein Zusammenhang“ (ASE0). Beide Standardfehler sind verschieden; darum kann das Intervall die 0 enthalten, während p unter ,05 liegt, besonders bei starkem Zusammenhang.
• Gamma, Tau-b, Tau-c und Somers' d haben dasselbe T und damit dasselbe p. Statable zeigt den Test darum einmal in der Zeile „Test (ordinale Maße)“, wie SPSS. Die Karte Rangkorrelation rechnet das p von τb mit einer anderen, ebenfalls gültigen Varianz; bei starkem Zusammenhang und vielen Bindungen unterscheiden sich beide.
• Das symmetrische Somers' d hat kein Intervall: PSPP liefert keinen Standardfehler dazu, und die Näherung von SPSS weicht von der genauen Rechnung ab. Das gerichtete d hat eines und ist meist das sinnvollere Maß.
• Das p des Unsicherheitskoeffizienten kommt aus dem Likelihood-Quotienten-Test (G²), wie in SPSS (Fußnote „Likelihood ratio chi-square probability“); das T daneben gilt nicht für dieses p.

Lambda ist kein Stärkemaß

Lambda zeigt, um wie viel die Fehler beim Vorhersagen der häufigsten Antwort sinken, wenn man die Gruppe kennt. Ist in jeder Gruppe dieselbe Antwort die häufigste, ist λ = 0 - auch bei deutlichem Zusammenhang. Beispiel: 90 zu 10 in der einen, 60 zu 40 in der anderen Gruppe: λ (Antwort aus Gruppe) = 0, aber V = ,35, χ²-Test p < ,001, OR = 6. Statable zeigt dann Wert 0 ohne Intervall und ohne Test und fügt den Satz an: „Das heißt nicht, dass es keinen Zusammenhang gibt.“ Darum wird Lambda nie vorgeschlagen.

Besondere Fälle

• Weniger als zwei Zeilen oder Spalten mit Fällen: Es gibt kein Maß. Statable sagt das, statt „nicht berechenbar“ zu zeigen.
• Perfekter Zusammenhang: Gamma und τb sind 1, das Intervall ist [1; 1] - ohne Streuung ist es nicht aussagekräftig. τc ist kleiner (rechteckige Tabellen).
• Weniger als 30 Fälle oder mehr als jede fünfte Zelle mit weniger als 5 erwarteten Fällen: Das Intervall ist eine Näherung für große Stichproben.
• Fallgewicht: Mit einem Häufigkeitsgewicht rechnet Statable die gewichtete Tabelle (N = Summe der Gewichte). Mit einem Umfragegewicht ist der Abschnitt gesperrt, weil Standardfehler und Tests den Stichprobenplan brauchen.

Ergebnis berichten

τb = ,41, 95 %-KI [,27; ,56], p < ,001; N = 112

Beispiel: „Je höher die Stufe der Bildung, desto höher meist die Stufe der Zufriedenheit (Kendalls τb = ,41, 95 %-KI [,27; ,56], p < ,001; N = 112).“ Nicht kausal formulieren.

Für Fachleute

PSPP rechnet die Maße (CROSSTABS mit GAMMA, D, BTAU, CTAU, LAMBDA, UC); Statable liest die Tabellen „Symmetric Measures“ und „Directional Measures“ über ihre Beschriftung und ordnet die Richtung nach dem Namen der abhängigen Variablen zu, nie nach der Reihenfolge. Das Intervall und das p werden ergänzt, wo PSPP sie nicht ausgibt (Gamma, Tau). Gegengeprüft gegen die Formeln der IBM-Dokumentation (SPSS Algorithms, CROSSTABS), eine numerische Delta-Methode und die gedruckten Beispiele des Handbuchs „IBM SPSS Exact Tests“ (Rauchen, Partei). DescTools weicht bei τb und d in der sechsten Stelle ab und ist für diese beiden nicht der Sollwert.

Quellen

Goodman, L. A. u. Kruskal, W. H. (1954). Measures of association for cross classifications. Journal of the American Statistical Association, 49, 732-764. Kendall, M. G. (1945). The treatment of ties in ranking problems. Biometrika, 33, 239-251. Stuart, A. (1953). The estimation and comparison of strengths of association in contingency tables. Biometrika, 40, 105-110. Somers, R. H. (1962). A new asymmetric measure of association for ordinal variables. American Sociological Review, 27, 799-811. Theil, H. (1970). On the estimation of relationships involving qualitative variables. American Journal of Sociology, 76, 103-154. Brown, M. B. u. Benedetti, J. K. (1977). Sampling behavior of tests for correlation in two-way contingency tables. Journal of the American Statistical Association, 72, 309-315. Agresti, A. (2010). Analysis of Ordinal Categorical Data (2. Aufl.). Wiley. IBM (2014). SPSS Statistics Algorithms: CROSSTABS. Mehta, C. u. Patel, N. IBM SPSS Exact Tests, Kap. 13 bis 15.