Sterkte van het verband in de kruistabel (gamma, tau, Somers' d, lambda, onzekerheidscoëfficiënt)

Kort

De chi-kwadraattoets zegt of twee categoriale kenmerken samenhangen; hij zegt niet hoe sterk. Onder “Meer opties” van de vraag “Komt iets in groepen verschillend vaak voor?” staat het onderdeel “Sterkte van het verband”. Statable stelt de maat voor die bij het meetniveau van de twee kolommen past; de andere kunnen worden aangezet. Het resultaat is een tabel met waarde, 95%-interval, toetsstatistiek T en p, plus een zin.

Welke maat past?

• Twee geordende variabelen (cijfers, niveaus) met hetzelfde aantal niveaus: Kendalls tau-b. Het houdt rekening met gelijke waarden (ties) en kan ±1 alleen in vierkante tabellen bereiken.
• Ongelijk aantal rijen en kolommen: Kendalls τc (Stuart) of Somers' d.
• Eén variabele is de afhankelijke (bijvoorbeeld toets naar cijfer): Somers' d, directioneel. Het vraagt hoeveel meer concordante dan discordante paren (discordant pairs) er zijn als je naar de afhankelijke variabele kijkt. Statable toont beide richtingen.
• Gamma negeert paren met dezelfde waarde en komt daarom meestal hoger uit; nooit de standaardkeuze. Bij twee bij twee cellen is gamma gelijk aan Yules Q.
• Nominale variabelen (groepen zonder volgorde): Cramérs V is er al; daarbij de onzekerheidscoëfficiënt (Theil), die het opgehelderde deel van de onzekerheid toont, en op verzoek lambda.
• Twee groepen en een geordend antwoord: een rangtoets (Mann-Whitney) met de effectgrootte d = 2 · AUC − 1 past beter.

Ordinale maten hangen van de volgorde af

Statable leest de rijen en kolommen zoals ze in de tabel staan: van laag naar hoog. Bij getallen met label is dat de volgorde van de getallen. Bij tekst sorteert Statable alfabetisch, dus “hoog” zou vóór “middel” komen en dat vóór “laag”. De niveaus moeten daarom getallen met label hebben (Kolommen beschrijven) voordat ordinale maten worden gelezen. Er verschijnt een waarschuwing als een tekstkolom als geordend geldt.

Interval en toets

• Het interval is waarde ± 1,96 · standaardfout bij de gevonden sterkte (ASE1), begrensd tot −1 tot 1 (gamma, tau, d) of 0 tot 1 (lambda, UC). De toets gebruikt T = waarde / standaardfout onder “geen samenhang” (ASE0). De twee standaardfouten verschillen; het interval kan dus 0 bevatten terwijl p kleiner is dan ,05, vooral bij sterke samenhang.
• Gamma, tau-b, tau-c en Somers' d hebben dezelfde T en dus dezelfde p. Statable toont de toets daarom één keer, in de regel “Toets (ordinale maten)”, zoals SPSS. De kaart rangcorrelatie berekent de p van τb met een andere, even geldige variantie; bij sterke samenhang en veel gelijke waarden verschillen de twee.
• De symmetrische Somers' d heeft geen interval: PSPP geeft er geen standaardfout voor en de benadering van SPSS wijkt af van de exacte berekening. De directionele d heeft er wel een en is meestal de verstandigere maat.
• De p van de onzekerheidscoëfficiënt komt uit de likelihoodratiotoets (G²), zoals in SPSS (voetnoot “Likelihood ratio chi-square probability”); de T ernaast hoort niet bij deze p.

Lambda is geen sterktemaat

Lambda laat zien met hoeveel de fouten bij het voorspellen van het meest voorkomende antwoord dalen als de groep bekend is. Als in elke groep hetzelfde antwoord het meest voorkomt, is λ = 0 - ook bij duidelijke samenhang. Voorbeeld: 90 tegen 10 in de ene groep, 60 tegen 40 in de andere: λ (antwoord uit groep) = 0, maar V = ,35, chi-kwadraattoets p < ,001, OR = 6. Statable toont dan de waarde 0 zonder interval en zonder toets en voegt de zin toe: “Dat betekent niet dat er geen samenhang is.” Daarom wordt lambda nooit voorgesteld.

Bijzondere gevallen

• Minder dan twee rijen of kolommen met gevallen: er is geen maat. Statable zegt dat in plaats van “niet te berekenen” te tonen.
• Perfecte samenhang: gamma en τb zijn 1, het interval is [1; 1] - zonder spreiding heeft het geen betekenis. τc is kleiner (rechthoekige tabellen).
• Minder dan 30 gevallen of meer dan een cel op de vijf met minder dan 5 verwachte gevallen: het interval is een benadering voor grote steekproeven.
• Gevalsgewicht: bij een frequentiegewicht berekent Statable de gewogen tabel (N = som van de gewichten). Bij een steekproefgewicht is het onderdeel geblokkeerd, omdat standaardfouten en toetsen het steekproefontwerp nodig hebben.

Het resultaat rapporteren

τb = ,41, 95%-BI [,27; ,56], p < ,001; N = 112

Voorbeeld: “Hoe hoger het opleidingsniveau, hoe hoger het niveau van tevredenheid meestal is (Kendalls τb = ,41, 95%-BI [,27; ,56], p < ,001; N = 112).” Formuleer het niet causaal.

Voor specialisten

PSPP berekent de maten (CROSSTABS met GAMMA, D, BTAU, CTAU, LAMBDA, UC); Statable leest de tabellen “Symmetric Measures” en “Directional Measures” op hun labels en wijst de richting toe op de naam van de afhankelijke variabele, nooit op de volgorde. Het interval en de p worden toegevoegd waar PSPP ze niet geeft (gamma, tau). Gecontroleerd met de formules uit de IBM-documentatie (SPSS Algorithms, CROSSTABS), een numerieke deltamethode en de gedrukte voorbeelden uit het handboek “IBM SPSS Exact Tests” (roken, partij). DescTools wijkt bij τb en d af in de zesde decimaal en is voor die twee niet de referentie.

Bronnen

Goodman, L. A., & Kruskal, W. H. (1954). Measures of association for cross classifications. Journal of the American Statistical Association, 49, 732-764. Kendall, M. G. (1945). The treatment of ties in ranking problems. Biometrika, 33, 239-251. Stuart, A. (1953). The estimation and comparison of strengths of association in contingency tables. Biometrika, 40, 105-110. Somers, R. H. (1962). A new asymmetric measure of association for ordinal variables. American Sociological Review, 27, 799-811. Theil, H. (1970). On the estimation of relationships involving qualitative variables. American Journal of Sociology, 76, 103-154. Brown, M. B., & Benedetti, J. K. (1977). Sampling behavior of tests for correlation in two-way contingency tables. Journal of the American Statistical Association, 72, 309-315. Agresti, A. (2010). Analysis of Ordinal Categorical Data (2e dr.). Wiley. IBM (2014). SPSS Statistics Algorithms: CROSSTABS. Mehta, C., & Patel, N. IBM SPSS Exact Tests, hoofdstuk 13 tot en met 15.