Сила на връзката (strength of association) в кръстосаната таблица (гама, тау, d на Сомърс, ламбда, коефициент на неопределеност)

Накратко

Хи-квадрат тестът казва дали два категорийни признака са свързани; не казва колко силно. В „Още опции“ при въпроса „Среща ли се нещо с различна честота в различните групи?“ има раздел „Сила на връзката (strength of association)“. Statable предлага мярката, която отговаря на нивото на измерване на двете колони; другите могат да се включат. Резултатът е таблица със стойност, 95% интервал, тестова статистика T и p, плюс едно изречение.

Коя мярка е подходяща?

• Две подредени променливи (оценки, нива) със същия брой нива: τb на Кендъл. Отчита равните стойности и може да достигне ±1 само в квадратни таблици.
• Различен брой редове и колони: τc на Кендъл (Stuart) или d на Сомърс (Somers' d).
• Една променлива е зависимата (например изпит по оценка): d на Сомърс (Somers' d), асиметрично. Пита с колко повече са съгласуваните двойки от несъгласуваните, когато се гледа зависимата променлива. Statable показва и двете посоки.
• Гама пренебрегва двойките с една и съща стойност и затова обикновено излиза по-висока; никога не е по подразбиране. При клетки две по две гама съвпада с Q на Юл.
• Номинални променливи (групи без ред): V на Крамер вече е налице; освен това коефициентът на неопределеност (Тейл), който показва дела на изяснената неопределеност, и при желание ламбда.
• Две групи и подреден отговор: по-подходящ е рангов критерий (rank test) (Ман-Уитни) с размер на ефекта d = 2 · AUC − 1.

Ординалните мерки зависят от реда

Statable чете редовете и колоните така, както стоят в таблицата: от ниско към високо. За числа с етикети това е редът на числата. Текста Statable подрежда по азбучен ред, така че „висок“ би бил преди „среден“, а той преди „нисък“. Затова нивата трябва да имат числа с етикети (описание на колоните), преди да се четат ординалните мерки. Когато текстова колона се третира като подредена, се появява предупреждение.

Интервал и тест

• Интервалът е стойност ± 1,96 · стандартна грешка при намерената сила (ASE1), ограничен до от −1 до 1 (гама, тау, d) или от 0 до 1 (ламбда, UC). Тестът използва T = стойност / стандартна грешка при „липса на връзка“ (ASE0). Двете стандартни грешки се различават; затова интервалът може да съдържа 0, докато p е под ,05, особено при силна връзка.
• Гама, тау-b, тау-c и d на Сомърс (Somers' d) имат едно и също T и следователно едно и също p. Затова Statable показва теста веднъж в реда „Тест (ординални мерки)“, както SPSS. Картата за рангова корелация изчислява p за τb с друга, също валидна дисперсия; при силна връзка и много равни стойности двете се различават.
• Симетричното d на Сомърс (Somers' d) няма интервал: PSPP не дава за него стандартна грешка, а приближението, което използва SPSS, се различава от точното изчисление. Асиметричното d има такъв и обикновено е по-смислената мярка.
• p на коефициента на неопределеност идва от теста на отношението на правдоподобията (G²), както в SPSS (бележката „Likelihood ratio chi-square probability“); T до него не принадлежи на това p.

Ламбда не е мярка за сила

Ламбда показва с колко намаляват грешките при прогнозата на най-честия отговор, когато групата е известна. Ако един и същ отговор е най-честият във всяка група, λ = 0 - дори при ясна връзка. Пример: 90 на 10 в едната група, 60 на 40 в другата: λ (отговор по група) = 0, но V = ,35, хи-квадрат тест p < ,001, OR = 6. Statable показва тогава стойността 0 без интервал и без тест и добавя изречението: „Това не означава, че няма връзка.“ Затова ламбда никога не се предлага.

Особени случаи

• По-малко от два реда или колони със случаи: няма мярка. Statable го казва вместо да показва „не може да се изчисли“.
• Съвършена връзка: гама и τb са 1, интервалът е [1; 1] - без разсейване няма смисъл. τc е по-малко (правоъгълни таблици).
• По-малко от 30 случая или повече от една клетка от пет с по-малко от 5 очаквани случая: интервалът е приближение за големи извадки.
• Тегло на случая: с тегло на честотата (frequency weight) Statable изчислява претеглената таблица (N = сумата на теглата). С извадково тегло разделът е блокиран, защото стандартните грешки и тестовете изискват плана на извадката (sampling plan).

Съобщаване на резултата

τb = ,41, 95% ДИ [,27; ,56], p < ,001; N = 112

Пример: „Колкото по-високо е нивото на образование, толкова по-високо е нивото на удовлетвореност (τb на Кендъл = ,41, 95% ДИ [,27; ,56], p < ,001; N = 112).“ Не го формулирайте причинно.

За специалисти

PSPP изчислява мерките (CROSSTABS с GAMMA, D, BTAU, CTAU, LAMBDA, UC); Statable чете таблиците „Symmetric Measures“ и „Directional Measures“ по етикетите им и определя посоката по името на зависимата променлива, никога по реда. Интервалът и p се добавят там, където PSPP не ги дава (гама, тау). Проверено с формулите от документацията на IBM (SPSS Algorithms, CROSSTABS), числен делта метод и отпечатаните примери от наръчника „IBM SPSS Exact Tests“ (пушене, партия). DescTools се отклонява в шестия знак при τb и d и не е еталон за тези две.

Източници

Goodman, L. A., & Kruskal, W. H. (1954). Measures of association for cross classifications. Journal of the American Statistical Association, 49, 732-764. Kendall, M. G. (1945). The treatment of ties in ranking problems. Biometrika, 33, 239-251. Stuart, A. (1953). The estimation and comparison of strengths of association in contingency tables. Biometrika, 40, 105-110. Somers, R. H. (1962). A new asymmetric measure of association for ordinal variables. American Sociological Review, 27, 799-811. Theil, H. (1970). On the estimation of relationships involving qualitative variables. American Journal of Sociology, 76, 103-154. Brown, M. B., & Benedetti, J. K. (1977). Sampling behavior of tests for correlation in two-way contingency tables. Journal of the American Statistical Association, 72, 309-315. Agresti, A. (2010). Analysis of Ordinal Categorical Data (2nd ed.). Wiley. IBM (2014). SPSS Statistics Algorithms: CROSSTABS. Mehta, C., & Patel, N. IBM SPSS Exact Tests, chapters 13 to 15.