Forza dell’associazione nella tabella di contingenza (gamma, tau, d di Somers, lambda, coefficiente di incertezza)

In breve

Il test del chi-quadrato dice se due caratteristiche categoriali sono in relazione; non dice quanto forte. In «Altre opzioni» della domanda «Qualcosa ricorre con frequenza diversa in gruppi diversi?» c’è la sezione «Forza dell’associazione». Statable propone la misura adatta al livello di misura delle due colonne; le altre si possono attivare. Il risultato è una tabella con valore, intervallo al 95%, statistica del test T e p, più una frase.

Quale misura è adatta?

• Due variabili ordinate (voti, livelli) con lo stesso numero di livelli: tau-b di Kendall. Tiene conto dei ties (valori uguali) e può raggiungere ±1 solo in tabelle quadrate.
• Numero diverso di righe e di colonne: τc di Kendall (Stuart) o d di Somers.
• Una variabile è quella dipendente (per esempio esame per voto): d di Somers, asimmetrica. Chiede quante coppie concordanti in più che discordanti ci sono guardando la variabile dipendente. Statable mostra entrambe le direzioni.
• Gamma ignora le coppie con lo stesso valore e perciò di solito risulta più alto; mai proposto per impostazione predefinita. Con due per due celle gamma coincide con la Q di Yule.
• Variabili nominali (gruppi senza ordine): la V di Cramér c’è già; in più il coefficiente di incertezza (Theil), che mostra la quota di incertezza chiarita, e su richiesta lambda.
• Due gruppi e una risposta ordinata: è più adatto un test per ranghi (Mann-Whitney) con la dimensione dell’effetto d = 2 · AUC − 1.

Le misure ordinali dipendono dall’ordine

Statable legge righe e colonne come stanno nella tabella: da basso ad alto. Per numeri con etichetta è l’ordine dei numeri. Per il testo Statable ordina alfabeticamente, quindi «alto» verrebbe prima di «medio» e questo prima di «basso». I livelli dovrebbero quindi avere numeri con etichetta (Descrivi le colonne) prima che si leggano le misure ordinali. Compare un avviso quando una colonna di testo vale come ordinata.

Intervallo e test

• L’intervallo è il valore ± 1,96 · errore standard alla forza trovata (ASE1), limitato da −1 a 1 (gamma, tau, d) o da 0 a 1 (lambda, UC). Il test usa T = valore / errore standard sotto «nessuna associazione» (ASE0). I due errori standard differiscono; perciò l’intervallo può contenere lo 0 anche quando p è inferiore a ,05, soprattutto con un’associazione forte.
• Gamma, tau-b, tau-c e d di Somers condividono lo stesso T e quindi lo stesso p. Statable mostra perciò il test una sola volta, nella riga «Test (misure ordinali)», come SPSS. La scheda della correlazione per ranghi (rho di Spearman) calcola il p di τb con un’altra varianza, ugualmente valida; con un’associazione forte e molti ties i due differiscono.
• La d di Somers simmetrica non ha intervallo: PSPP non fornisce l’errore standard e l’approssimazione usata da SPSS differisce dal calcolo esatto. La d asimmetrica ce l’ha ed è di solito la misura più sensata.
• Il p del coefficiente di incertezza deriva dal test del rapporto di verosimiglianza (G²), come in SPSS (nota «Likelihood ratio chi-square probability»); la T accanto non appartiene a questo p.

Lambda non è una misura di forza

Lambda mostra di quanto diminuiscono gli errori nel prevedere la risposta più frequente quando si conosce il gruppo. Se in ogni gruppo la risposta più frequente è la stessa, λ = 0 - anche con un’associazione evidente. Esempio: 90 contro 10 in un gruppo, 60 contro 40 nell’altro: λ (risposta dal gruppo) = 0, ma V = ,35, test del chi-quadrato p < ,001, OR = 6. Statable mostra allora il valore 0 senza intervallo e senza test e aggiunge la frase: «Questo non significa che non ci sia associazione». Per questo lambda non viene mai proposto.

Casi particolari

• Meno di due righe o colonne con casi: non esiste alcuna misura. Statable lo dice invece di mostrare «non calcolabile».
• Associazione perfetta: gamma e τb valgono 1, l’intervallo è [1; 1] - senza dispersione non ha senso. τc è più piccolo (tabelle rettangolari).
• Meno di 30 casi o più di una cella su cinque con meno di 5 casi attesi: l’intervallo è un’approssimazione per campioni grandi.
• Peso del caso: con un peso di frequenza Statable calcola la tabella ponderata (N = somma dei pesi). Con un peso del campione la sezione è bloccata, perché errori standard e test richiedono il disegno di campionamento.

Riportare il risultato

τb = ,41, IC al 95% [,27; ,56], p < ,001; N = 112

Esempio: «Più alto è il livello di istruzione, più alto tende a essere il livello di soddisfazione (tau-b di Kendall = ,41, IC al 95% [,27; ,56], p < ,001; N = 112)». Non formularlo in senso causale.

Per specialisti

PSPP calcola le misure (CROSSTABS con GAMMA, D, BTAU, CTAU, LAMBDA, UC); Statable legge le tabelle «Symmetric Measures» e «Directional Measures» dalle loro etichette e assegna la direzione in base al nome della variabile dipendente, mai in base all’ordine. Intervallo e p vengono aggiunti dove PSPP non li fornisce (gamma, tau). Verificato con le formule della documentazione IBM (SPSS Algorithms, CROSSTABS), un metodo delta numerico e gli esempi stampati del manuale «IBM SPSS Exact Tests» (fumo, partito). DescTools si discosta alla sesta cifra per τb e d e non è il riferimento per queste due.

Fonti

Goodman, L. A., & Kruskal, W. H. (1954). Measures of association for cross classifications. Journal of the American Statistical Association, 49, 732-764. Kendall, M. G. (1945). The treatment of ties in ranking problems. Biometrika, 33, 239-251. Stuart, A. (1953). The estimation and comparison of strengths of association in contingency tables. Biometrika, 40, 105-110. Somers, R. H. (1962). A new asymmetric measure of association for ordinal variables. American Sociological Review, 27, 799-811. Theil, H. (1970). On the estimation of relationships involving qualitative variables. American Journal of Sociology, 76, 103-154. Brown, M. B., & Benedetti, J. K. (1977). Sampling behavior of tests for correlation in two-way contingency tables. Journal of the American Statistical Association, 72, 309-315. Agresti, A. (2010). Analysis of Ordinal Categorical Data (2ª ed.). Wiley. IBM (2014). SPSS Statistics Algorithms: CROSSTABS. Mehta, C., & Patel, N. IBM SPSS Exact Tests, capitoli da 13 a 15.