Ένταση της σχέσης (strength of association) στον πίνακα συνάφειας (γάμμα, tau, d του Somers, λάμδα, συντελεστής αβεβαιότητας)

Εν συντομία

Ο έλεγχος χ² δείχνει αν δύο κατηγορικά χαρακτηριστικά σχετίζονται· δεν δείχνει πόσο ισχυρά. Στις «Περισσότερες επιλογές» της ερώτησης «Εμφανίζεται κάτι με διαφορετική συχνότητα σε διαφορετικές ομάδες;» υπάρχει η ενότητα «Ένταση της σχέσης (strength of association)». Το Statable προτείνει το μέτρο που ταιριάζει στο επίπεδο μέτρησης των δύο στηλών· τα υπόλοιπα μπορούν να ενεργοποιηθούν. Το αποτέλεσμα είναι ένας πίνακας με τιμή, διάστημα 95%, στατιστικό ελέγχου T και p, καθώς και μια πρόταση.

Ποιο μέτρο ταιριάζει;

• Δύο διατεταγμένες μεταβλητές (βαθμοί, επίπεδα) με το ίδιο πλήθος επιπέδων: το τb του Kendall. Λαμβάνει υπόψη τις ισοβαθμίες (ίσες τιμές) και μπορεί να φτάσει το ±1 μόνο σε τετραγωνικούς πίνακες.
• Άνισο πλήθος γραμμών και στηλών: το τc του Kendall (Stuart) ή το d του Somers.
• Μία μεταβλητή είναι η εξαρτημένη (για παράδειγμα εξέταση ανά βαθμό): d του Somers, κατευθυνόμενο. Ρωτά πόσα περισσότερα σύμφωνα από ασύμφωνα ζεύγη υπάρχουν όταν κοιτάζουμε την εξαρτημένη μεταβλητή. Το Statable δείχνει και τις δύο κατευθύνσεις.
• Το γάμμα αγνοεί τα ζεύγη με την ίδια τιμή και γι’ αυτό συνήθως βγαίνει υψηλότερο· δεν προτείνεται ποτέ ως προεπιλογή. Με δύο επί δύο κελιά το γάμμα ισούται με το Q του Yule.
• Ονομαστικές μεταβλητές (ομάδες χωρίς σειρά): το V του Cramér υπάρχει ήδη· επιπλέον ο συντελεστής αβεβαιότητας (Theil), που δείχνει το μέρος της αβεβαιότητας που διαλευκάνεται, και κατόπιν αιτήματος το λάμδα.
• Δύο ομάδες και μια διατεταγμένη απάντηση: ταιριάζει καλύτερα ένας έλεγχος κατάταξης (Mann-Whitney) με το μέγεθος επίδρασης d = 2 · AUC − 1.

Τα τακτικά μέτρα εξαρτώνται από τη σειρά

Το Statable διαβάζει τις γραμμές και τις στήλες όπως βρίσκονται στον πίνακα: από χαμηλό προς υψηλό. Για αριθμούς με ετικέτα αυτή είναι η σειρά των αριθμών. Για κείμενο το Statable ταξινομεί αλφαβητικά, οπότε το «υψηλό» θα ερχόταν πριν από το «μέτριο» και αυτό πριν από το «χαμηλό». Τα επίπεδα πρέπει επομένως να έχουν αριθμούς με ετικέτα (Περιγραφή στηλών) προτού διαβαστούν τα τακτικά μέτρα. Εμφανίζεται προειδοποίηση όταν μια στήλη κειμένου θεωρείται διατεταγμένη.

Διάστημα και έλεγχος

• Το διάστημα είναι η τιμή ± 1,96 · τυπικό σφάλμα στην ένταση που βρέθηκε (ASE1), περιορισμένο από −1 έως 1 (γάμμα, tau, d) ή από 0 έως 1 (λάμδα, UC). Ο έλεγχος χρησιμοποιεί T = τιμή / τυπικό σφάλμα υπό «καμία σχέση» (ASE0). Τα δύο τυπικά σφάλματα διαφέρουν· έτσι το διάστημα μπορεί να περιέχει το 0 ενώ το p είναι μικρότερο από ,05, ιδίως με ισχυρή σχέση.
• Το γάμμα, το tau-b, το tau-c και το d του Somers έχουν το ίδιο T και άρα το ίδιο p. Γι’ αυτό το Statable δείχνει τον έλεγχο μία φορά, στη γραμμή «Έλεγχος (τακτικά μέτρα)», όπως το SPSS. Η κάρτα συσχέτισης κατάταξης υπολογίζει το p του τb με μια άλλη, εξίσου έγκυρη διακύμανση· με ισχυρή σχέση και πολλές ισοβαθμίες τα δύο διαφέρουν.
• Το συμμετρικό d του Somers δεν έχει διάστημα: το PSPP δεν δίνει γι’ αυτό τυπικό σφάλμα και η προσέγγιση που χρησιμοποιεί το SPSS διαφέρει από τον ακριβή υπολογισμό. Το κατευθυνόμενο d έχει διάστημα και είναι συνήθως το πιο λογικό μέτρο.
• Το p του συντελεστή αβεβαιότητας προέρχεται από τον έλεγχο λόγου πιθανοφανειών (G²), όπως στο SPSS (υποσημείωση «Likelihood ratio chi-square probability»)· το T δίπλα δεν ανήκει σε αυτό το p.

Το λάμδα δεν είναι μέτρο έντασης

Το λάμδα δείχνει κατά πόσο μειώνονται τα σφάλματα στην πρόβλεψη της πιο συχνής απάντησης όταν είναι γνωστή η ομάδα. Αν σε κάθε ομάδα η πιο συχνή απάντηση είναι η ίδια, λ = 0 - ακόμη και με σαφή σχέση. Παράδειγμα: 90 προς 10 στη μία ομάδα, 60 προς 40 στην άλλη: λ (απάντηση από την ομάδα) = 0, αλλά V = ,35, έλεγχος χ² p < ,001, OR = 6. Το Statable δείχνει τότε την τιμή 0 χωρίς διάστημα και χωρίς έλεγχο και προσθέτει την πρόταση: «Αυτό δεν σημαίνει ότι δεν υπάρχει σχέση.» Γι’ αυτό το λάμδα δεν προτείνεται ποτέ.

Ειδικές περιπτώσεις

• Λιγότερες από δύο γραμμές ή στήλες με περιπτώσεις: δεν υπάρχει μέτρο. Το Statable το λέει αντί να δείχνει «δεν υπολογίζεται».
• Τέλεια σχέση: το γάμμα και το τb είναι 1, το διάστημα είναι [1· 1] - χωρίς διασπορά δεν έχει νόημα. Το τc είναι μικρότερο (ορθογώνιοι πίνακες).
• Λιγότερες από 30 περιπτώσεις ή περισσότερο από ένα κελί στα πέντε με λιγότερες από 5 αναμενόμενες περιπτώσεις: το διάστημα είναι προσέγγιση για μεγάλα δείγματα.
• Βάρος περίπτωσης: με βάρος συχνότητας το Statable υπολογίζει τον σταθμισμένο πίνακα (N = άθροισμα των βαρών). Με βάρος έρευνας η ενότητα είναι αποκλεισμένη, επειδή τα τυπικά σφάλματα και οι έλεγχοι χρειάζονται το σχέδιο δειγματοληψίας.

Αναφορά του αποτελέσματος

τb = ,41, 95% CI [,27· ,56], p < ,001· N = 112

Παράδειγμα: «Όσο υψηλότερο είναι το επίπεδο εκπαίδευσης, τόσο υψηλότερο τείνει να είναι το επίπεδο ικανοποίησης (τb του Kendall = ,41, 95% CI [,27· ,56], p < ,001· N = 112).» Μη το διατυπώσετε αιτιακά.

Για ειδικούς

Το PSPP υπολογίζει τα μέτρα (CROSSTABS με GAMMA, D, BTAU, CTAU, LAMBDA, UC)· το Statable διαβάζει τους πίνακες «Symmetric Measures» και «Directional Measures» από τις ετικέτες τους και αντιστοιχίζει την κατεύθυνση με το όνομα της εξαρτημένης μεταβλητής, ποτέ με τη σειρά. Το διάστημα και το p προστίθενται όπου το PSPP δεν τα δίνει (γάμμα, tau). Διασταυρώθηκε με τους τύπους της τεκμηρίωσης της IBM (SPSS Algorithms, CROSSTABS), μια αριθμητική δέλτα μέθοδο και τα τυπωμένα παραδείγματα του εγχειριδίου «IBM SPSS Exact Tests» (κάπνισμα, κόμμα). Το DescTools αποκλίνει στο έκτο ψηφίο για τα τb και d και δεν είναι η αναφορά για αυτά τα δύο.

Πηγές

Goodman, L. A., & Kruskal, W. H. (1954). Measures of association for cross classifications. Journal of the American Statistical Association, 49, 732-764. Kendall, M. G. (1945). The treatment of ties in ranking problems. Biometrika, 33, 239-251. Stuart, A. (1953). The estimation and comparison of strengths of association in contingency tables. Biometrika, 40, 105-110. Somers, R. H. (1962). A new asymmetric measure of association for ordinal variables. American Sociological Review, 27, 799-811. Theil, H. (1970). On the estimation of relationships involving qualitative variables. American Journal of Sociology, 76, 103-154. Brown, M. B., & Benedetti, J. K. (1977). Sampling behavior of tests for correlation in two-way contingency tables. Journal of the American Statistical Association, 72, 309-315. Agresti, A. (2010). Analysis of Ordinal Categorical Data (2η έκδ.). Wiley. IBM (2014). SPSS Statistics Algorithms: CROSSTABS. Mehta, C., & Patel, N. IBM SPSS Exact Tests, κεφάλαια 13 έως 15.