Παραμένει η σχέση όταν μια τρίτη μεταβλητή κρατιέται σταθερή; (Mantel-Haenszel)

Εν συντομία

Μερικές φορές μια σχέση υπάρχει μόνο επειδή παρεμβαίνει μια τρίτη μεταβλητή. Γνωστό παράδειγμα: στο Πανεπιστήμιο της Καλιφόρνιας στο Μπέρκλεϊ το 1973 οι άνδρες γίνονταν δεκτοί συχνότερα από τις γυναίκες (odds ratio 1,84). Με διαχωρισμό ανά μάθημα η διαφορά εξαφανίζεται (κοινός odds ratio 0,90): οι γυναίκες είχαν υποβάλει αιτήσεις συχνότερα σε μαθήματα με χαμηλά ποσοστά αποδοχής (παράδοξο του Simpson). Γι’ αυτό στις «Περισσότερες επιλογές» του πίνακα συνάφειας υπάρχει η επιλογή «Διαχωρισμός ανά τρίτη στήλη (στρώμα)».

Τι δείχνει το Statable

• Ο πίνακας ανά στρώμα με τον δικό του odds ratio (διάστημα Woolf) και, δίπλα-δίπλα, ο odds ratio χωρίς διαχωρισμό (μη προσαρμοσμένος) και ο κοινός odds ratio (προσαρμοσμένος).
• Ο έλεγχος Mantel-Haenszel (CMH): ελέγχει αν ο κοινός odds ratio είναι 1. Με διόρθωση συνέχειας ως προεπιλογή (μπορεί να αλλάξει). Το SPSS αφαιρεί πάντα τη διόρθωση· το Statable μόνο όταν η απόκλιση είναι τουλάχιστον 0,5 (όπως η R). Η διαφορά είναι μικρότερη από 0,02 στο χ².
• Ως «Mantel-Haenszel» το SPSS εμφανίζει την τιμή με διόρθωση συνέχειας (η προεπιλογή εδώ) και δίπλα μια τιμή «Cochran». Το «Cochran» είναι ξεχωριστός τύπος (διαιρεί με n αντί για n - 1 σε κάθε στρώμα) και όχι η τιμή Mantel-Haenszel χωρίς διόρθωση· οι δύο τιμές είναι κοντά. Παράδειγμα με τις εισαγωγές στο Berkeley (6 τμήματα): με διόρθωση 1,4269 (SPSS 1,427), χωρίς διόρθωση 1,5246· το «Cochran» του SPSS 1,527.
• Ο κοινός odds ratio (εκτιμητής Mantel-Haenszel) με το διάστημα των Robins, Breslow και Greenland. Παραμένει ορισμένος ακόμη και με κενό κελί σε ένα στρώμα· το Statable δεν διορθώνει σιωπηλά (καμία διόρθωση Haldane).
• Ο έλεγχος Breslow-Day με διόρθωση Tarone: ελέγχει αν οι odds ratio των στρωμάτων είναι ίσοι.
• Ένα διάγραμμα των odds ratio των στρωμάτων (forest plot, λογαριθμικός άξονας).

Ο κοινός odds ratio είναι μόνο μια σύνοψη

Αν οι odds ratio των στρωμάτων διαφέρουν σαφώς (στο παράδειγμα του Μπέρκλεϊ το μάθημα A αποκλίνει έντονα), ο κοινός odds ratio τους συνοψίζει μόνο χονδρικά. Το Statable προειδοποιεί όταν ο έλεγχος Breslow-Day με διόρθωση Tarone δίνει p < ,05. Αντίστροφα, το «p > ,05» δεν δίνει άδεια για συγχώνευση: με λίγες περιπτώσεις ανά στρώμα ο έλεγχος είναι ασθενής. Γι’ αυτό το διάγραμμα των στρωμάτων βρίσκεται πάντα δίπλα.

Ποια στήλη είναι η ομάδα, ποια το συμβάν;

Όπως στα μέτρα κινδύνου, στο αποτέλεσμα μπορείτε να επιλέξετε ποια στήλη ορίζει τις ομάδες, ποια ομάδα συγκρίνεται με την άλλη και ποια απάντηση είναι το συμβάν. Αυτό αντιστρέφει τον odds ratio (το 0,90 γίνεται 1,11)· ο έλεγχος και ο έλεγχος Breslow-Day μένουν ίδιοι.

Μεγαλύτεροι πίνακες

Για πίνακες μεγαλύτερους από δύο επί δύο κελιά, το Statable υπολογίζει τον γενικευμένο έλεγχο Mantel-Haenszel (γενική σχέση, Landis, Heyman και Koch 1978) με (γραμμές − 1) · (στήλες − 1) βαθμούς ελευθερίας. Κοινός odds ratio υπάρχει μόνο για δύο επί δύο κελιά.

Περιορισμοί

• Μια στήλη στρώματος έχει 2 έως 20 επίπεδα. Ένα στρώμα με μία μόνο περίπτωση δεν περιλαμβάνεται (το Statable το αναφέρει). Αν κάθε στρώμα έχει κενή γραμμή ή στήλη, δεν υπάρχει έλεγχος.
• Αν το άθροισμα των χιαστί γινομένων ad/n ή bc/n είναι μηδέν, δεν μπορεί να εκτιμηθεί κοινός odds ratio: το Statable δεν δείχνει τότε ούτε τιμή ούτε διάστημα.
• Βάρος περίπτωσης: με βάρος συχνότητας τα κελιά ανά στρώμα είναι σταθμισμένες καταμετρήσεις (ακέραιοι αριθμοί). Με βάρος έρευνας ο έλεγχος είναι αποκλεισμένος.
• Δεν περιλαμβάνονται: ο ακριβής δεσμευμένος έλεγχος και ο έλεγχος ομοιογένειας του Woolf.

Αναφορά του αποτελέσματος

Mantel-Haenszel χ²(1) = 1,43, p = ,232· κοινός OR = 0,90, 95% CI [0,77· 1,06]· έλεγχος Breslow-Day (Tarone) χ²(5) = 18,83, p = ,002

Παράδειγμα: «Μετά τον διαχωρισμό ανά μάθημα, τα δεδομένα δεν δείχνουν σχέση μεταξύ φύλου και αποδοχής (Mantel-Haenszel χ²(1) = 1,43, p = ,232· κοινός OR = 0,90, 95% CI [0,77· 1,06]). Οι odds ratio των μαθημάτων διαφέρουν όμως (έλεγχος Breslow-Day με διόρθωση Tarone χ²(5) = 18,83, p = ,002)· ο κοινός OR τους συνοψίζει μόνο χονδρικά».

Για ειδικούς

Δικός μας κώδικας (JavaScript), επειδή το PSPP δεν υπολογίζει τον έλεγχο. Επαληθεύτηκε με την R (mantelhaen.test, metafor::rma.mh, DescTools::BreslowDayTest) και με τους τύπους της τεκμηρίωσης της IBM (SPSS Algorithms, CROSSTABS)· τα δεδομένα του παραδείγματος είναι το σύνολο δεδομένων της R UCBAdmissions (Bickel, Hammel και O’Connell 1975).

Πηγές

Mantel, N., & Haenszel, W. (1959). Statistical aspects of the analysis of data from retrospective studies of disease. Journal of the National Cancer Institute, 22, 719-748. Robins, J., Breslow, N., & Greenland, S. (1986). Estimators of the Mantel-Haenszel variance consistent in both sparse data and large-strata limiting models. Biometrics, 42, 311-323. Breslow, N. E., & Day, N. E. (1980). Statistical Methods in Cancer Research, Vol. 1. IARC. Tarone, R. E. (1985). On heterogeneity tests based on efficient scores. Biometrika, 72, 91-95. Landis, J. R., Heyman, E. R., & Koch, G. G. (1978). Average partial association in three-way contingency tables. International Statistical Review, 46, 237-254. Bickel, P. J., Hammel, E. A., & O’Connell, J. W. (1975). Sex bias in graduate admissions: data from Berkeley. Science, 187, 398-404. Agresti, A. (2013). Categorical Data Analysis (3η έκδ.), κεφ. 6. Wiley.