Sterbetafel (Überlebenstafel in festen Abschnitten)

Kurz

Eine Sterbetafel (auch: Lebenstafel, Überlebenstafel) teilt die Zeit in feste Abschnitte und zeigt je Abschnitt: wie viele noch dabei waren, wie viele ausschieden (zensiert) und wie viele das Ereignis hatten, dazu den Anteil, der noch kein Ereignis hatte, die Dichte und die Ausfallrate (Hazard). Sie ist die Antwort, wenn eine Tabelle in Zeitabschnitten gefragt ist (Kurs, Versicherung, Public Health). Gewählt wird sie in der Frage „Wie lange dauert es bis zu einem Ereignis?“ unter „Weitere Wege“ → „Sterbetafel statt Kaplan-Meier-Kurve“. So rechnet auch SPSS (Analysieren > Überleben > Sterbetafeln).

Was die Spalten bedeuten

• Am Anfang dabei: Personen, die am Anfang des Abschnitts noch beobachtet werden. Ausgeschieden: zensiert im Abschnitt. Ereignisse: das Ereignis im Abschnitt.
• Dem Risiko ausgesetzt: am Anfang dabei minus die Hälfte der Ausgeschiedenen. Die Tafel nimmt an, dass die Ausgeschiedenen gleichmäßig über den Abschnitt ausscheiden und darum im Mittel nur den halben Abschnitt dabei waren.
• Anteil mit Ereignis (q): Ereignisse geteilt durch dem Risiko Ausgesetzte. Kumuliert ohne Ereignis: das Produkt von (1 − q) bis zum Ende des Abschnitts, mit Standardfehler nach Greenwood.
• Dichte: Abnahme des kumulierten Anteils im Abschnitt, bezogen auf seine Breite. Ausfallrate (Hazard): die Ereignisrate in der Mitte des Abschnitts, 2q / (Breite · (2 − q)). Das letzte Intervall ist offen (alle Zeiten ab dem letzten Anfang): dafür gibt es keine Dichte und keine Ausfallrate.

Sterbetafel und Kaplan-Meier sind nicht dasselbe

Die Kaplan-Meier-Kurve rechnet mit den Einzelzeiten, die Sterbetafel mit Abschnitten und halb gezählten Ausgeschiedenen. Bei breiten Abschnitten und vielen Ausgeschiedenen weichen beide etwas voneinander ab (Beispiel lung, nach 900 Tagen 5,5 % in der Tafel gegen 5,0 % bei Kaplan-Meier; Median 319 gegen 310). Bei engen Abschnitten und wenigen Ausgeschiedenen sind sie fast gleich. Bei Einzeldaten bleibt die Kaplan-Meier-Kurve die genauere Antwort.

Die Wahl der Intervalle

Die Breite der Abschnitte ändert das Ergebnis, vor allem den Median, der innerhalb eines Abschnitts geradlinig berechnet wird. Statable schlägt eine glatte Breite vor, die etwa zehn Abschnitte ergibt (1, 2 oder 5 mal eine Zehnerpotenz). Breite und Ende lassen sich im Ergebnis ändern, ohne neu zu laden. Das Ende ist der Anfang des offenen letzten Abschnitts; ist es kein Vielfaches der Breite, rundet Statable auf und sagt es. Zulässig sind 2 bis 50 Abschnitte.

Gruppen vergleichen: Wilcoxon (Gehan)

Mit einer Gruppen-Spalte vergleicht Statable die Gruppen wie SPSS nach Wilcoxon (Gehan), näherungsweise: Die Zeit jedes Falls wird durch den Anfang seines Intervalls ersetzt, bei gleicher Zeit gilt „Ereignis kürzer als zensiert“. Das Ergebnis ist ein χ² mit (Gruppen − 1) Freiheitsgraden; bei mehr als zwei Gruppen stehen die Paare mit Holm-Korrektur daneben. „Wilcoxon“ ist hier nicht der Rangsummentest. Der Test gewichtet frühe Ereignisse stärker als der Log-Rank-Test und hängt vom Muster der Zensierung ab; bei sehr verschiedener Zensierung der Gruppen (mehr als 20 Prozentpunkte) warnt Statable. Welchen der beiden Tests verwendet wird, gehört vor den Blick auf die Daten entschieden.

Statable rechnet den Test nach Gehan ungefähr: Jede Zeit zählt als Anfang ihres Intervalls (in SPSS: /CALCULATE=APPROXIMATE, dort gleich). Ohne diese Angabe rechnet SPSS exakt; darum können die Zahlen abweichen (Beispiel lung nach Geschlecht: hier 13,528, SPSS exakt 12,777).

Wo Statable vom gedruckten IBM-Text abweicht

Statable folgt dem Algorithmus von IBM (SPSS Statistics Algorithms, Kapitel SURVIVAL) in der in sich stimmigen Fassung. An drei Stellen kann der gedruckte Text so nicht stimmen. Ein Lauf mit SPSS 32 (Oktober 2026) bestätigt Statable: SPSS rechnet an allen drei Stellen wie Statable, nicht wie der gedruckte Text.

1. Punktzahl bei gleichen Zeiten: Im Text steht „− CE“, Statable rechnet „+ CE“. Nur so ist die Summe aller Punktzahlen 0; die Rechnung stimmt dann mit der Paar-für-Paar-Definition von Gehan überein (lung nach Geschlecht, exakt: χ² = 12,777 statt 12,720).
2. Median: Der Text nimmt die Breite des Abschnitts davor, Statable die des Abschnitts, in dem der Anteil unter 50 % fällt. Bei gleich breiten Abschnitten ist das egal.
3. Standardfehler der Dichte: Der Text nimmt den Anteil am Ende des Abschnitts, Statable (wie Lee und Wang und R, KMsurv::lifetab) den Anteil am Anfang.

Wird der Median nicht erreicht, zeigt SPSS den Anfang des letzten Intervalls als Zahl; Statable schreibt „nicht erreicht“. Im offenen letzten Intervall zeigt SPSS Dichte und Hazard als 0; Statable lässt sie leer, weil das Intervall keine Breite hat.

Grenzen

• Das Fallgewicht ist gesperrt, wie bei Kaplan-Meier.
• Mehrere Ereignisarten (konkurrierende Risiken) überschätzen das Risiko, wie bei Kaplan-Meier.
• Scheiden mehr als 30 % aus, oder scheiden viele am Anfang oder am Ende eines Abschnitts aus, stimmt die Halb-Regel nicht; engere Abschnitte helfen. Unter 20 Fällen insgesamt (unter 5 in einer Gruppe) ist die Tafel sehr unsicher.
• Die Zeiteinheit kennt Statable nicht. Sie lässt sich für den Satz angeben („Tagen“, „Monaten“).

Ergebnis berichten

Sterbetafel (Intervalle 100): Wilcoxon (Gehan) χ²(1) = 13,53, p < ,001; n = 228, 165 Ereignisse

Beispiel (survival::lung, 228 Menschen mit fortgeschrittenem Lungenkrebs, Intervalle zu 100 Tagen): Nach 300 Tagen hatten noch 53 % das Ereignis nicht erlebt; der Median aus der Tafel lag bei 319 Tagen (Kaplan-Meier: 310). Männer und Frauen unterscheiden sich im Test nach Wilcoxon (Gehan): χ²(1) = 13,53, p < ,001.

Für Fachleute

Eigener Code (JavaScript), Formeln aus IBM SPSS Statistics Algorithms (SURVIVAL; Gehan 1975, Lee und Desu 1972), in der stabilen Form gerechnet (kein NaN bei q = 0 oder q = 1). Geprüft gegen R: alle Spalten gleich KMsurv::lifetab (Abweichung unter 1e-12 in zwei Datensätzen), Gehan gleich der Paar-für-Paar-Rechnung und coin::logrank_test(type = "Gehan-Breslow") bei exakten Zeiten; die Näherung (Zeit = Intervallanfang) gleich der Rechnung mit Intervallanfängen.

library(KMsurv)
lifetab(c(tis, NA), n, nlost, nevent)   # Sterbetafel nach Lee & Wang

Quellen

IBM SPSS Statistics 14.0 Algorithms, Kapitel SURVIVAL. Gehan, E. A. (1965). A generalized Wilcoxon test for comparing arbitrarily singly-censored samples. Biometrika, 52, 203-223. Cutler, S. J. & Ederer, F. (1958). Maximum utilization of the life table method in analyzing survival. Journal of Chronic Diseases, 8, 699-712. Lee, E. T. & Wang, J. W. (2003). Statistical methods for survival data analysis (3. Aufl.). Wiley.