Таблиця смертності (таблиця виживання у фіксованих інтервалах)

Коротко

Таблиця смертності (також: актуарна таблиця, таблиця виживання) ділить час на фіксовані інтервали та показує для кожного інтервалу: скільки осіб ще було в спостереженні, скільки вибуло (цензуровано) і скільки мали подію, а також частку, у якої ще не було події, густину та інтенсивність відмов. Це відповідь, коли потрібна таблиця за інтервалами часу (курс, страхування, охорона здоров’я). Її вибирають у питанні «Скільки часу минає до події?» у розділі «Більше параметрів» → «Таблиця смертності замість кривої Каплана-Маєра». SPSS робить те саме (Analyze > Survival > Life Tables).

Що означають стовпці

• На вході: особи, які ще перебувають під спостереженням на початку інтервалу. Вибулі: цензуровані всередині інтервалу. Події: подія всередині інтервалу.
• Піддані ризику: на вході мінус половина вибулих. Таблиця припускає, що ті, хто вибуває, роблять це рівномірно протягом інтервалу й тому були в ньому в середньому половину часу.
• Частка з подією (q): події, поділені на кількість, піддану ризику (number exposed to risk). Накопичена без події: добуток (1 − q) до кінця інтервалу, зі стандартною похибкою за Грінвудом.
• Густина: зменшення накопиченої частки в інтервалі відносно його ширини. Інтенсивність відмов: частота подій у середині інтервалу, 2q / (ширина · (2 − q)). Останній інтервал відкритий (усі значення часу від останнього початку): він не має ні густини, ні інтенсивності відмов.

Таблиця смертності - не оцінка Каплана-Маєра

Крива Каплана-Маєра використовує окремі значення часу, таблиця смертності - інтервали й враховує тих, хто вибуває, як половину. За широких інтервалів і багатьох вибулих вони дещо відрізняються (приклад lung, після 900 днів 5,5% у таблиці проти 5,0% за Каплана-Маєра; медіана 319 проти 310). За вузьких інтервалів і малої кількості вибулих вони майже збігаються. Для індивідуальних даних крива Каплана-Маєра лишається точнішою відповіддю.

Вибір інтервалів

Ширина інтервалів змінює результат, насамперед медіану, яку обчислюють лінійно всередині інтервалу. Statable пропонує круглу ширину, що дає приблизно десять інтервалів (1, 2 або 5, помножені на степінь десяти). Ширину й кінець можна змінити в результаті без перезавантаження. Кінець - це початок відкритого останнього інтервалу; якщо він не кратний ширині, Statable округлює вгору й повідомляє про це. Дозволено від 2 до 50 інтервалів.

Порівняння груп: Вілкоксон (Гехан)

За наявності стовпця груп Statable порівнює групи, як SPSS, за критерієм Вілкоксона (Гехана) (Gehan-Wilcoxon test), наближено: час кожного спостереження замінюється початком його інтервалу, а для однакових значень часу діє правило «подія коротша за цензуровану». Результат - χ² із (групи − 1) ступенями вільності; за понад двох груп поруч показано пари з поправкою Холма. «Вілкоксон» тут - не критерій суми рангів. Критерій надає ранням подіям більшої ваги, ніж лог-ранговий, і залежить від схеми цензурування (censoring); за дуже різного цензурування в групах (понад 20 відсоткових пунктів) Statable попереджає. Який із двох критеріїв використати, слід вирішити до того, як дивитеся на дані.

Statable обчислює критерій Gehan наближено: кожен момент часу вважається початком свого інтервалу (у SPSS: /CALCULATE=APPROXIMATE, що дає те саме). Без цього параметра SPSS обчислює його точно, тому числа можуть відрізнятися (приклад lung за статтю: тут 13,528, SPSS точно 12,777).

Де Statable відрізняється від друкованого тексту IBM

Statable дотримується алгоритму IBM (SPSS Statistics Algorithms, розділ SURVIVAL) у внутрішньо узгодженій версії. У трьох місцях друкований текст не може бути правильним у наявному вигляді. Запуск у SPSS 32 (жовтень 2026) підтверджує Statable: SPSS у всіх трьох місцях рахує так, як Statable, а не так, як друкований текст.

1. Бал для однакових значень часу: у тексті «− CE», Statable обчислює «+ CE». Лише тоді всі бали в сумі дають 0; обчислення тоді збігається з парним визначенням Гехана (lung за статтю, точно: χ² = 12,777 замість 12,720).
2. Медіана: текст використовує ширину попереднього інтервалу, Statable - ширину інтервалу, у якому частка опускається нижче 50%. За однаково широких інтервалів різниці немає.
3. Стандартна похибка густини: текст використовує частку наприкінці інтервалу, Statable (як Lee і Wang та R, KMsurv::lifetab) - частку на початку.

Якщо медіану не досягнуто, SPSS показує початок останнього інтервалу як число; Statable пише «не досягнуто». В останньому відкритому інтервалі SPSS показує густину й інтенсивність відмов як 0; Statable залишає їх порожніми, бо в інтервалу немає ширини.

Обмеження

• Вага спостереження заблокована, як і за Каплана-Маєра.
• Кілька видів подій (конкуруючі ризики) завищують ризик, як і за Каплана-Маєра.
• Якщо вибуває понад 30% або багато осіб вибуває на початку чи наприкінці інтервалу, правило половини не діє; допомагають вужчі інтервали. Менш ніж із 20 спостереженнями загалом (менш ніж із 5 у групі) таблиця дуже невпевнена.
• Statable не знає одиниці часу. Її можна вказати для речення («днів», «місяців»).

Подання результату

Таблиця смертності (інтервали 100): Вілкоксон (Гехан) χ²(1) = 13,53, p < ,001; n = 228, 165 подій

Приклад (survival::lung, 228 осіб із поширеним раком легень, інтервали по 100 днів): Через 300 днів у 53% досі не настала подія; медіана за таблицею становила 319 днів (Каплан-Маєр: 310). Чоловіки й жінки відрізняються за критерієм Вілкоксона (Гехана) (Gehan-Wilcoxon test): χ²(1) = 13,53, p < ,001.

Для фахівців

Власний код (JavaScript), формули з IBM SPSS Statistics Algorithms (SURVIVAL; Gehan 1975, Lee і Desu 1972), обчислені у стабільній формі (без NaN при q = 0 або q = 1). Звірено з R: усі стовпці дорівнюють KMsurv::lifetab (відхилення менше 1e-12 у двох наборах даних), Гехан дорівнює парному обчисленню та coin::logrank_test(type = "Gehan-Breslow") для точних значень часу; наближення (час = початок інтервалу) дорівнює обчисленню з початками інтервалів.

library(KMsurv)
lifetab(c(tis, NA), n, nlost, nevent)   # Sterbetafel nach Lee & Wang

Джерела

IBM SPSS Statistics 14.0 Algorithms, chapter SURVIVAL. Gehan, E. A. (1965). A generalized Wilcoxon test for comparing arbitrarily singly-censored samples. Biometrika, 52, 203-223. Cutler, S. J. & Ederer, F. (1958). Maximum utilization of the life table method in analyzing survival. Journal of Chronic Diseases, 8, 699-712. Lee, E. T. & Wang, J. W. (2003). Statistical methods for survival data analysis (3rd ed.). Wiley.