Tavola di mortalità (tavola di sopravvivenza in intervalli fissi)

In breve

Una tavola di mortalità (anche: tavola attuariale, tavola di sopravvivenza) divide il tempo in intervalli fissi e mostra per ogni intervallo: quanti erano ancora presenti, quanti sono usciti (censurati) e quanti hanno avuto l’evento, più la proporzione che non ha ancora avuto l’evento, la densità e il tasso di rischio. È la risposta quando si chiede una tabella in intervalli di tempo (corso, assicurazione, sanità pubblica). La si sceglie nella domanda «Quanto tempo passa fino a un evento?» sotto «Altre opzioni» → «Tavola di mortalità invece della curva di Kaplan-Meier». SPSS fa lo stesso (Analizza > Sopravvivenza > Tabelle vita).

Che cosa significano le colonne

• Entrano: persone ancora osservate all’inizio dell’intervallo. Lasciano: censurate nell’intervallo. Eventi: l’evento nell’intervallo.
• Esposti al rischio: entrati meno la metà di chi lascia. La tavola presuppone che chi esce lo faccia in modo uniforme lungo l’intervallo e sia quindi rimasto in media per metà di esso.
• Proporzione con evento (q): eventi divisi per esposti al rischio. Proporzione cumulativa senza evento: il prodotto dei (1 − q) fino alla fine dell’intervallo, con l’errore standard secondo Greenwood.
• Densità: diminuzione della proporzione cumulativa nell’intervallo, rapportata alla sua ampiezza. Tasso di rischio: il tasso di eventi a metà dell’intervallo, 2q / (ampiezza · (2 − q)). L’ultimo intervallo è aperto (tutti i tempi dall’ultimo inizio): non ha densità né tasso di rischio.

Una tavola di mortalità non è una stima di Kaplan-Meier

La curva di Kaplan-Meier usa i tempi individuali; la tavola di mortalità usa intervalli e conta per metà chi esce. Con intervalli larghi e molte uscite le due differiscono un poco (esempio lung, dopo 900 giorni il 5,5% nella tavola contro il 5,0% con Kaplan-Meier; mediana 319 contro 310). Con intervalli stretti e poche uscite sono quasi uguali. Con dati individuali la curva di Kaplan-Meier resta la risposta più esatta.

Scegliere gli intervalli

L’ampiezza degli intervalli cambia il risultato, soprattutto la mediana, che viene calcolata in modo lineare all’interno di un intervallo. Statable suggerisce un’ampiezza tonda che dà circa dieci intervalli (1, 2 o 5 volte una potenza di dieci). Ampiezza e fine si possono modificare nel risultato senza ricaricare. La fine è l’inizio dell’ultimo intervallo, che è aperto; se non è un multiplo dell’ampiezza, Statable arrotonda per eccesso e lo dice. Sono ammessi da 2 a 50 intervalli.

Confrontare i gruppi: Wilcoxon (Gehan)

Con una colonna di gruppi Statable confronta i gruppi come fa SPSS con il test di Wilcoxon (Gehan), in modo approssimato: il tempo di ogni caso è sostituito dall’inizio del suo intervallo e con tempi pari vale «evento più breve di censurato». Il risultato è un χ² con (gruppi − 1) gradi di libertà; con più di due gruppi accanto vengono mostrate le coppie con correzione di Holm. «Wilcoxon» qui non è il test della somma dei ranghi. Il test pesa gli eventi precoci più del test dei ranghi logaritmici (log-rank) e dipende dallo schema di censura; con censure molto diverse nei gruppi (oltre 20 punti percentuali) Statable avvisa. Quale dei due test usare va deciso prima di guardare i dati.

Statable calcola il test di Gehan in modo approssimato: ogni tempo vale come inizio del suo intervallo (in SPSS: /CALCULATE=APPROXIMATE, che dà lo stesso risultato). Senza questa opzione SPSS lo calcola in modo esatto, perciò i numeri possono differire (esempio lung per sesso: qui 13,528, SPSS esatto 12,777).

Dove Statable si discosta dal testo stampato di IBM

Statable segue l’algoritmo di IBM (SPSS Statistics Algorithms, capitolo SURVIVAL) nella versione coerente in sé. In tre punti il testo stampato non può essere corretto così com’è. Un’esecuzione con SPSS 32 (ottobre 2026) conferma Statable: in tutti e tre i punti SPSS calcola come Statable, non come il testo stampato.

1. Punteggio per i tempi pari: il testo ha «− CE», Statable calcola «+ CE». Solo così tutti i punteggi sommano a 0; il calcolo concorda allora con la definizione di Gehan coppia per coppia (lung per sesso, esatto: χ² = 12,777 invece di 12,720).
2. Mediana: il testo usa l’ampiezza dell’intervallo precedente, Statable quella dell’intervallo in cui la proporzione scende sotto il 50%. Con intervalli di ampiezza uguale non fa differenza.
3. Errore standard della densità: il testo usa la proporzione alla fine dell’intervallo, Statable (come Lee e Wang e R, KMsurv::lifetab) la proporzione all’inizio.

Se la mediana non viene raggiunta, SPSS mostra come numero l’inizio dell’ultimo intervallo; Statable scrive «non raggiunta». Nell’ultimo intervallo aperto SPSS mostra densità e rischio istantaneo come 0; Statable li lascia vuoti, perché l’intervallo non ha ampiezza.

Limiti

• Il peso del caso è bloccato, come con Kaplan-Meier.
• Più tipi di eventi (rischi concorrenti) sovrastimano il rischio, come con Kaplan-Meier.
• Se esce più del 30%, oppure molti escono all’inizio o alla fine di un intervallo, la regola della metà non regge; aiutano intervalli più stretti. Con meno di 20 casi in tutto (meno di 5 in un gruppo) la tavola è molto incerta.
• Statable non conosce l’unità di tempo. Si può indicare per la frase («giorni», «mesi»).

Riportare il risultato

Tavola di mortalità (intervalli di 100): Wilcoxon (Gehan) χ²(1) = 13,53, p < ,001; n = 228, 165 eventi

Esempio (survival::lung, 228 persone con un tumore del polmone avanzato, intervalli di 100 giorni): dopo 300 giorni il 53% non aveva ancora avuto l’evento; la mediana dalla tavola è stata di 319 giorni (Kaplan-Meier: 310). Uomini e donne differiscono nel test di Wilcoxon (Gehan): χ²(1) = 13,53, p < ,001.

Per specialisti

Codice proprio (JavaScript), formule da IBM SPSS Statistics Algorithms (SURVIVAL; Gehan 1975, Lee e Desu 1972), calcolate nella forma stabile (nessun NaN per q = 0 o q = 1). Verificato rispetto a R: tutte le colonne uguali a KMsurv::lifetab (scarto inferiore a 1e-12 in due insiemi di dati), Gehan uguale al calcolo coppia per coppia e a coin::logrank_test(type = «Gehan-Breslow») per tempi esatti; l’approssimazione (tempo = inizio dell’intervallo) uguale al calcolo con gli inizi degli intervalli.

library(KMsurv)
lifetab(c(tis, NA), n, nlost, nevent)   # Sterbetafel nach Lee & Wang

Fonti

IBM SPSS Statistics 14.0 Algorithms, capitolo SURVIVAL. Gehan, E. A. (1965). A generalized Wilcoxon test for comparing arbitrarily singly-censored samples. Biometrika, 52, 203-223. Cutler, S. J. & Ederer, F. (1958). Maximum utilization of the life table method in analyzing survival. Journal of Chronic Diseases, 8, 699-712. Lee, E. T. & Wang, J. W. (2003). Statistical methods for survival data analysis (3a ed.). Wiley.