Πίνακας επιβίωσης (πίνακας επιβίωσης σε σταθερά διαστήματα)

Εν συντομία

Ένας πίνακας επιβίωσης (επίσης: αναλογιστικός πίνακας, πίνακας θνησιμότητας) χωρίζει τον χρόνο σε σταθερά διαστήματα και δείχνει για κάθε διάστημα: πόσα άτομα ήταν ακόμη μέσα, πόσα αποχώρησαν (λογοκριμένα) και πόσα είχαν το συμβάν, καθώς και την αναλογία που δεν έχει ακόμη το συμβάν, την πυκνότητα και τον ρυθμό κινδύνου (hazard rate). Είναι η απάντηση όταν ζητείται πίνακας σε χρονικά διαστήματα (μάθημα, ασφάλιση, δημόσια υγεία). Επιλέγεται στην ερώτηση «Πόσο διαρκεί μέχρι ένα συμβάν;» στις «Περισσότερες επιλογές» → «Πίνακας επιβίωσης αντί για την καμπύλη Kaplan-Meier». Το SPSS κάνει το ίδιο (Ανάλυση > Επιβίωση > Πίνακες επιβίωσης).

Τι σημαίνουν οι στήλες

Εισερχόμενοι: άτομα που παρατηρούνται ακόμη στην αρχή του διαστήματος. Αποχωρούντες: λογοκριμένα μέσα στο διάστημα. Συμβάντα: το συμβάν μέσα στο διάστημα.
Εκτεθειμένοι σε κίνδυνο: εισερχόμενοι μείον το μισό των αποχωρούντων. Ο πίνακας προϋποθέτει ότι όσοι αποχωρούν το κάνουν ομοιόμορφα μέσα στο διάστημα και επομένως ήταν εκεί κατά μέσο όρο για το μισό του.
Αναλογία με συμβάν (q): συμβάντα διαιρεμένα με τους εκτεθειμένους σε κίνδυνο. Αθροιστική αναλογία χωρίς συμβάν: το γινόμενο των (1 − q) μέχρι το τέλος του διαστήματος, με το τυπικό σφάλμα κατά Greenwood.
Πυκνότητα: μείωση της αθροιστικής αναλογίας μέσα στο διάστημα, σε σχέση με το πλάτος του. Ρυθμός κινδύνου (hazard rate): ο ρυθμός συμβάντων στο μέσο του διαστήματος, 2q / (πλάτος · (2 − q)). Το τελευταίο διάστημα είναι ανοιχτό (όλοι οι χρόνοι από την τελευταία αρχή): δεν έχει πυκνότητα ούτε ρυθμό κινδύνου.

Ο πίνακας επιβίωσης δεν είναι εκτίμηση Kaplan-Meier

Η καμπύλη Kaplan-Meier χρησιμοποιεί τους μεμονωμένους χρόνους, ο πίνακας επιβίωσης χρησιμοποιεί διαστήματα και μετράει για μισούς όσους αποχωρούν. Με ευρεία διαστήματα και πολλές αποχωρήσεις οι δύο διαφέρουν κάπως (παράδειγμα lung, μετά από 900 ημέρες 5,5% στον πίνακα έναντι 5,0% με Kaplan-Meier· διάμεσος 319 έναντι 310). Με στενά διαστήματα και λίγες αποχωρήσεις είναι σχεδόν ίδιες. Με μεμονωμένα δεδομένα η καμπύλη Kaplan-Meier παραμένει η ακριβέστερη απάντηση.

Επιλογή των διαστημάτων

Το πλάτος των διαστημάτων αλλάζει το αποτέλεσμα, κυρίως τον διάμεσο, που υπολογίζεται γραμμικά μέσα σε ένα διάστημα. Το Statable προτείνει ένα στρογγυλό πλάτος που δίνει περίπου δέκα διαστήματα (1, 2 ή 5 φορές μια δύναμη του δέκα). Το πλάτος και το τέλος μπορούν να αλλαχθούν μέσα στο αποτέλεσμα χωρίς επαναφόρτωση. Το τέλος είναι η αρχή του ανοιχτού τελευταίου διαστήματος· αν δεν είναι πολλαπλάσιο του πλάτους, το Statable στρογγυλοποιεί προς τα πάνω και το αναφέρει. Επιτρέπονται 2 έως 50 διαστήματα.

Σύγκριση ομάδων: Wilcoxon (Gehan)

Με μια στήλη ομάδων το Statable συγκρίνει τις ομάδες όπως το SPSS με τον έλεγχο Wilcoxon (Gehan), κατά προσέγγιση: ο χρόνος κάθε περίπτωσης αντικαθίσταται από την αρχή του διαστήματός της, και για ισοβαθμίες χρόνων ισχύει «συμβάν συντομότερο από λογοκριμένο». Το αποτέλεσμα είναι ένα χ² με (ομάδες − 1) βαθμούς ελευθερίας· με περισσότερες από δύο ομάδες εμφανίζονται δίπλα και τα ζεύγη με διόρθωση Holm. Το «Wilcoxon» εδώ δεν είναι ο έλεγχος αθροίσματος κατατάξεων. Ο έλεγχος σταθμίζει τα πρώιμα συμβάντα περισσότερο από τον έλεγχο log-rank και εξαρτάται από το μοτίβο της λογοκρισίας· με πολύ διαφορετική λογοκρισία στις ομάδες (πάνω από 20 ποσοστιαίες μονάδες) το Statable προειδοποιεί. Ποιος από τους δύο ελέγχους χρησιμοποιείται πρέπει να αποφασιστεί πριν κοιτάξετε τα δεδομένα.

Το Statable υπολογίζει τον έλεγχο Gehan κατά προσέγγιση: κάθε χρόνος μετράει ως αρχή του διαστήματός του (στο SPSS: /CALCULATE=APPROXIMATE, που δίνει το ίδιο). Χωρίς αυτή την επιλογή το SPSS υπολογίζει ακριβώς, οπότε οι αριθμοί μπορεί να διαφέρουν (παράδειγμα lung ανά φύλο: εδώ 13,528, SPSS ακριβές 12,777).

Πού διαφέρει το Statable από το τυπωμένο κείμενο της IBM

Το Statable ακολουθεί τον αλγόριθμο της IBM (SPSS Statistics Algorithms, κεφάλαιο SURVIVAL) στην εσωτερικά συνεπή εκδοχή του. Σε τρία σημεία το τυπωμένο κείμενο δεν μπορεί να είναι σωστό όπως είναι. Μια εκτέλεση με το SPSS 32 (Οκτώβριος 2026) επιβεβαιώνει το Statable: το SPSS υπολογίζει και στα τρία σημεία όπως το Statable, όχι όπως το τυπωμένο κείμενο.

Σκορ για ισοβαθμίες χρόνων: το κείμενο έχει «− CE», το Statable υπολογίζει «+ CE». Μόνο έτσι όλα τα σκορ αθροίζουν στο 0· ο υπολογισμός συμφωνεί τότε με τον ορισμό του Gehan ανά ζεύγος (lung ανά φύλο, ακριβές: χ² = 12,777 αντί για 12,720).
Διάμεσος: το κείμενο χρησιμοποιεί το πλάτος του προηγούμενου διαστήματος, το Statable αυτό του διαστήματος όπου η αναλογία πέφτει κάτω από 50%. Με διαστήματα ίσου πλάτους δεν αλλάζει τίποτα.
Τυπικό σφάλμα της πυκνότητας: το κείμενο χρησιμοποιεί την αναλογία στο τέλος του διαστήματος, το Statable (όπως οι Lee και Wang και η R, KMsurv::lifetab) την αναλογία στην αρχή.

Αν η διάμεσος δεν επιτευχθεί, το SPSS εμφανίζει την αρχή του τελευταίου διαστήματος ως αριθμό· το Statable γράφει «δεν επιτεύχθηκε». Στο ανοιχτό τελευταίο διάστημα το SPSS εμφανίζει την πυκνότητα πιθανότητας και τον ρυθμό κινδύνου (hazard rate) ως 0· το Statable τα αφήνει κενά, επειδή το διάστημα δεν έχει πλάτος.

Περιορισμοί

Το βάρος περίπτωσης μπλοκάρεται, όπως στο Kaplan-Meier.
Πολλά είδη συμβάντων (ανταγωνιστικοί κίνδυνοι) υπερεκτιμούν τον κίνδυνο, όπως και στο Kaplan-Meier.
Αν αποχωρεί περισσότερο από το 30%, ή πολλά άτομα αποχωρούν στην αρχή ή στο τέλος ενός διαστήματος, ο κανόνας του μισού δεν ισχύει· βοηθούν τα στενότερα διαστήματα. Με λιγότερες από 20 περιπτώσεις συνολικά (λιγότερες από 5 σε μια ομάδα) ο πίνακας είναι πολύ αβέβαιος.
Το Statable δεν γνωρίζει τη μονάδα χρόνου. Μπορεί να δοθεί για την πρόταση («ημέρες», «μήνες»).

Αναφορά του αποτελέσματος

Πίνακας επιβίωσης (διαστήματα 100): Wilcoxon (Gehan) χ²(1) = 13,53, p < ,001· n = 228, 165 συμβάντα

Παράδειγμα (survival::lung, 228 άτομα με προχωρημένο καρκίνο του πνεύμονα, διαστήματα των 100 ημερών): μετά από 300 ημέρες το 53% δεν είχε ακόμη το συμβάν· ο διάμεσος από τον πίνακα ήταν 319 ημέρες (Kaplan-Meier: 310). Άνδρες και γυναίκες διαφέρουν στον έλεγχο Wilcoxon (Gehan): χ²(1) = 13,53, p < ,001.

Για ειδικούς

Δικός μας κώδικας (JavaScript), τύποι από το IBM SPSS Statistics Algorithms (SURVIVAL· Gehan 1975, Lee και Desu 1972), υπολογισμένοι στη σταθερή μορφή (χωρίς NaN για q = 0 ή q = 1). Ελέγχθηκε με την R: όλες οι στήλες ίσες με το KMsurv::lifetab (απόκλιση κάτω από 1e-12 σε δύο σύνολα δεδομένων), Gehan ίσο με τον υπολογισμό ανά ζεύγος και με το coin::logrank_test(type = «Gehan-Breslow») για ακριβείς χρόνους· η προσέγγιση (χρόνος = αρχή του διαστήματος) ίση με τον υπολογισμό με τις αρχές των διαστημάτων.

library(KMsurv)
lifetab(c(tis, NA), n, nlost, nevent)   # Sterbetafel nach Lee & Wang

Πηγές

IBM SPSS Statistics 14.0 Algorithms, κεφάλαιο SURVIVAL. Gehan, E. A. (1965). A generalized Wilcoxon test for comparing arbitrarily singly-censored samples. Biometrika, 52, 203-223. Cutler, S. J. & Ederer, F. (1958). Maximum utilization of the life table method in analyzing survival. Journal of Chronic Diseases, 8, 699-712. Lee, E. T. & Wang, J. W. (2003). Statistical methods for survival data analysis (3η έκδ.). Wiley.