Tábua de mortalidade (tábua de sobrevivência em intervalos fixos)

Em resumo

Uma tábua de mortalidade (também: tábua atuarial, tábua de sobrevivência) divide o tempo em intervalos fixos e mostra para cada intervalo: quantos ainda estavam presentes, quantos saíram (censurados) e quantos tiveram o evento, além da proporção que ainda não teve o evento, da densidade e da taxa de risco. É a resposta quando se pede uma tabela em intervalos de tempo (curso, seguros, saúde pública). Escolhe-se na pergunta «Quanto tempo demora até acontecer um evento?», em «Mais opções» → «Tábua de mortalidade em vez da curva de Kaplan-Meier». O SPSS faz o mesmo (Analisar > Sobrevivência > Tabelas de mortalidade).

O que significam as colunas

• Entram: pessoas ainda observadas no início do intervalo. Saem: censuradas dentro do intervalo. Eventos: o evento dentro do intervalo.
• Expostos ao risco: os que entram menos metade dos que saem. A tábua pressupõe que quem sai o faz de modo uniforme ao longo do intervalo e, por isso, esteve nele em média metade do tempo.
• Proporção com evento (q): eventos divididos por expostos ao risco. Proporção acumulada sem evento: o produto dos (1 − q) até ao fim do intervalo, com o erro-padrão segundo Greenwood.
• Densidade: diminuição da proporção acumulada no intervalo, em relação à sua largura. Taxa de risco: a taxa de eventos no meio do intervalo, 2q / (largura · (2 − q)). O último intervalo está aberto (todos os tempos a partir do último início): não tem densidade nem taxa de risco.

Uma tábua de mortalidade não é uma estimativa de Kaplan-Meier

A curva de Kaplan-Meier usa os tempos individuais; a tábua de mortalidade usa intervalos e conta como metade quem sai. Com intervalos largos e muitas saídas, as duas diferem um pouco (exemplo lung, aos 900 dias 5,5% na tábua contra 5,0% com Kaplan-Meier; mediana 319 contra 310). Com intervalos estreitos e poucas saídas são quase iguais. Com dados individuais, a curva de Kaplan-Meier continua a ser a resposta mais exata.

Escolher os intervalos

A largura dos intervalos altera o resultado, sobretudo a mediana, que é calculada de forma linear dentro de um intervalo. O Statable sugere uma largura redonda que dá cerca de dez intervalos (1, 2 ou 5 vezes uma potência de dez). A largura e o fim podem ser alterados no resultado sem recarregar. O fim é o início do último intervalo, que está aberto; se não for um múltiplo da largura, o Statable arredonda para cima e di-lo. São permitidos de 2 a 50 intervalos.

Comparar grupos: Wilcoxon (Gehan)

Com uma coluna de grupos, o Statable compara os grupos como o SPSS faz pelo teste de Wilcoxon (Gehan), de forma aproximada: o tempo de cada caso é substituído pelo início do seu intervalo e, com tempos empatados, vale «evento mais curto do que censurado». O resultado é um χ² com (grupos − 1) graus de liberdade; com mais de dois grupos, os pares com correção de Holm são mostrados ao lado. «Wilcoxon» aqui não é o teste da soma dos postos. O teste pondera mais os eventos precoces do que o teste de log-rank e depende do padrão de censura; com censuras muito diferentes nos grupos (mais de 20 pontos percentuais), o Statable avisa. Qual dos dois testes se usa deve ser decidido antes de olhar para os dados.

O Statable calcula o teste de Gehan de forma aproximada: cada tempo conta como o início do seu intervalo (no SPSS: /CALCULATE=APPROXIMATE, que dá o mesmo). Sem esta opção, o SPSS calcula-o exatamente, pelo que os números podem diferir (exemplo lung por sexo: aqui 13,528, SPSS exato 12,777).

Onde o Statable se afasta do texto impresso da IBM

O Statable segue o algoritmo da IBM (SPSS Statistics Algorithms, capítulo SURVIVAL) na versão coerente consigo própria. Em três pontos, o texto impresso não pode estar certo tal como está. Uma execução com o SPSS 32 (outubro de 2026) confirma o Statable: o SPSS calcula nos três pontos como o Statable, não como o texto impresso.

1. Pontuação para tempos empatados: o texto tem «− CE», o Statable calcula «+ CE». Só assim todas as pontuações somam 0; o cálculo coincide então com a definição de Gehan par a par (lung por sexo, exato: χ² = 12,777 em vez de 12,720).
2. Mediana: o texto usa a largura do intervalo anterior, o Statable a do intervalo em que a proporção desce abaixo de 50%. Com intervalos igualmente largos não faz diferença.
3. Erro-padrão da densidade: o texto usa a proporção no fim do intervalo, o Statable (como Lee e Wang e o R, KMsurv::lifetab) a proporção no início.

Se a mediana não for atingida, o SPSS mostra o início do último intervalo como número; o Statable escreve «não atingido». No último intervalo, que é aberto, o SPSS mostra a densidade e a taxa de risco como 0; o Statable deixa-as vazias, porque o intervalo não tem largura.

Limites

• O peso do caso fica bloqueado, como com Kaplan-Meier.
• Vários tipos de eventos (riscos concorrentes) sobrestimam o risco, tal como com Kaplan-Meier.
• Se saírem mais de 30%, ou se muitos saírem no início ou no fim de um intervalo, a regra da metade não se mantém; intervalos mais estreitos ajudam. Com menos de 20 casos no total (menos de 5 num grupo), a tábua é muito incerta.
• O Statable não conhece a unidade de tempo. Pode ser indicada para a frase («dias», «meses»).

Comunicar o resultado

Tábua de mortalidade (intervalos de 100): Wilcoxon (Gehan) χ²(1) = 13,53, p < ,001; n = 228, 165 eventos

Exemplo (survival::lung, 228 pessoas com cancro do pulmão avançado, intervalos de 100 dias): aos 300 dias, 53% ainda não tinham tido o evento; a mediana segundo a tábua foi de 319 dias (Kaplan-Meier: 310). Homens e mulheres diferem no teste de Wilcoxon (Gehan): χ²(1) = 13,53, p < ,001.

Para especialistas

Código próprio (JavaScript), fórmulas do IBM SPSS Statistics Algorithms (SURVIVAL; Gehan 1975, Lee e Desu 1972), calculadas na forma estável (sem NaN com q = 0 ou q = 1). Verificado face ao R: todas as colunas iguais a KMsurv::lifetab (desvio inferior a 1e-12 em dois conjuntos de dados), Gehan igual ao cálculo par a par e a coin::logrank_test(type = «Gehan-Breslow») para tempos exatos; a aproximação (tempo = início do intervalo) igual ao cálculo com os inícios dos intervalos.

library(KMsurv)
lifetab(c(tis, NA), n, nlost, nevent)   # Sterbetafel nach Lee & Wang

Fontes

IBM SPSS Statistics 14.0 Algorithms, capítulo SURVIVAL. Gehan, E. A. (1965). A generalized Wilcoxon test for comparing arbitrarily singly-censored samples. Biometrika, 52, 203-223. Cutler, S. J. & Ederer, F. (1958). Maximum utilization of the life table method in analyzing survival. Journal of Chronic Diseases, 8, 699-712. Lee, E. T. & Wang, J. W. (2003). Statistical methods for survival data analysis (3.ª ed.). Wiley.