Παλινδρόμηση καταμέτρησης (Poisson και αρνητική διωνυμική)

Εν συντομία

Μια καταμέτρηση (ακέραιοι αριθμοί από 0, για παράδειγμα ημέρες απουσίας, αριθμός επισκέψεων στον γιατρό) προβλέπεται από άλλες στήλες. Το Statable υπολογίζει μια παλινδρόμηση Poisson και ελέγχει αν οι τιμές διαφέρουν περισσότερο από όσο επιτρέπει αυτό το μοντέλο (υπερδιασπορά)· τότε υπολογίζει αρνητική διωνυμική και το λέει πρώτο στο αποτέλεσμα. Επιλέγεται στις «Περισσότερες επιλογές» → «Μοντέλο» στην ερώτηση «Μπορεί να προβλεφθεί κάτι;»· για τιμές-στόχους που μοιάζουν με καταμετρήσεις, το Statable την προτείνει.

Σε τι χρησιμεύει

Οι καταμετρήσεις δεν είναι ποτέ αρνητικές, συχνά δεξιά ασύμμετρες και έχουν πολλά μηδενικά. Μια γραμμική παλινδρόμηση μπορεί να δώσει αρνητικές προβλέψεις. Η παλινδρόμηση καταμέτρησης προβλέπει τον αναμενόμενο αριθμό και δείχνει για κάθε προβλεπτική μεταβλητή τον παράγοντα κατά τον οποίο αλλάζει (IRR, λόγος ρυθμών).

Προϋποθέσεις

• Στήλη-στόχος: ακέραιοι αριθμοί από 0. Αρνητικές ή μη ακέραιες τιμές μπλοκάρουν τον υπολογισμό με μια πρόταση.
• Στήλες ομάδων ως προβλεπτικές μεταβλητές: η ομάδα αναφοράς είναι το πρώτο επίπεδο (όπως στο R)· το SPSS παίρνει το τελευταίο, και τα IRR είναι τότε αντίστροφα μεταξύ τους.
• Ανεξάρτητες παρατηρήσεις· οι παρατηρήσεις έχουν την ίδια διάρκεια ή δίνεται ο χρόνος παρατήρησης.
• Χρόνος παρατήρησης (προαιρετικός, στις «Περισσότερες επιλογές»): μια στήλη με τιμές μεγαλύτερες από 0, για παράδειγμα ο αριθμός εβδομάδων στις οποίες έγινε η καταμέτρηση. Το Statable χρησιμοποιεί τότε τον λογάριθμο του χρόνου ως offset· τα IRR είναι ρυθμοί ανά μονάδα χρόνου. Χωρίς αυτόν κάθε περίπτωση θεωρείται ότι παρατηρήθηκε για τον ίδιο χρόνο· με άνιση παρατήρηση αυτό αλλοιώνει τα αποτελέσματα.

Ανάγνωση του αποτελέσματος

• IRR (exp(B)) ανά προβλεπτική μεταβλητή με διάστημα εμπιστοσύνης 95% και p: ο παράγοντας κατά τον οποίο αλλάζει ο αναμενόμενος αριθμός όταν η προβλεπτική μεταβλητή αυξάνεται κατά ένα. Το 1 σημαίνει καμία σχέση. Για στήλες ομάδων, η σύγκριση με την πρώτη ομάδα.
• Υπερδιασπορά: το Statable δίνει το χ² Pearson/df του μοντέλου Poisson (κοντά στο 1 είναι καλό) και τον έλεγχο λόγου πιθανοφάνειας Poisson έναντι αρνητικής διωνυμικής. Η μηδενική υπόθεση βρίσκεται στο όριο (α = 0), οπότε μετρά η μισή τιμή p. Για p < ,05 το Statable υπολογίζει αρνητική διωνυμική. Όποιος επιβάλλει Poisson λαμβάνει μια σημείωση όταν υπάρχει υπερδιασπορά: οι τιμές p είναι τότε πολύ μικρές.
• Το αρνητικό διωνυμικό μοντέλο δίνει το θ (όσο μικρότερο, τόσο ισχυρότερη η υπερδιασπορά). Το SPSS δίνει αντί γι’ αυτό α = 1/θ.
• Έλεγχος μοντέλου και έλεγχος λόγου πιθανοφάνειας ανά προβλεπτική μεταβλητή. Για δεδομένα καταμέτρησης το Statable δεν δίνει R²: τα ψευδο-R² είναι ασυνεπή και διαβάζονται εύκολα ως ποσοστό που εξηγείται.

Παράδειγμα (Venables και Ripley 2002, δεδομένα MASS::quine, 146 μαθητές): ημέρες απουσίας ανά εθνοτική προέλευση, φύλο, ηλικιακή ομάδα και τύπο μαθητή. Οι τιμές διαφέρουν περισσότερο από όσο επιτρέπει το Poisson (χ² Pearson/df = 13,2· έλεγχος λόγου πιθανοφάνειας χ² = 1192,0, p < ,001)· γι’ αυτό το Statable υπολογίζει αρνητική διωνυμική (θ = 1,27). Με Poisson οι τιμές p θα ήταν πολύ μικρές. Για την προέλευση N ο αναμενόμενος αριθμός ημερών απουσίας είναι 0,57 φορές αυτός της προέλευσης A (IRR = 0,57, 95% CI [0,42; 0,76], p < ,001), δηλαδή περίπου 43% χαμηλότερος.

Αναφορά του αποτελέσματος

αρνητική διωνυμική παλινδρόμηση, θ = 1,27· χ²(6) = 25,12, p < ,001· Eth (N): IRR = 0,57, 95% CI [0,42; 0,76], p < ,001

Στο κείμενο ονομάστε το μοντέλο που επιλέχθηκε και τον λόγο (υπερδιασπορά). Μη διατυπώνετε αιτιακά.

Περιορισμοί

• Πολλά μηδενικά: το Statable δεν έχει μοντέλο για υπέρμετρες μηδενικές παρατηρήσεις (zero-inflated, hurdle). Αν το ποσοστό των μηδενικών είναι σαφώς πάνω από όσο αναμένει το επιλεγμένο μοντέλο (περισσότερο από 1,5 φορά και περισσότερο από 10% των περιπτώσεων), μια σημείωση λέει ότι ένα τέτοιο μοντέλο θα έπρεπε να ελεγχθεί.
• Το αρνητικό διωνυμικό μοντέλο εκτιμά το θ με πιθανοφάνεια προφίλ. Στις συνηθισμένες περιπτώσεις αυτό ισοδυναμεί με το MASS::glm.nb, αλλά δεν αποτυγχάνει με πολλά μηδενικά.
• Τα SE κατά Wald θεωρούν το θ σταθερό (όπως στο SPSS GENLIN).

Πηγή

Cameron, A. C., & Trivedi, P. K. (2013). Regression Analysis of Count Data (2η έκδ.). Cambridge University Press. Hilbe, J. M. (2011). Negative Binomial Regression (2η έκδ.). Cambridge University Press. Self, S. G., & Liang, K.-Y. (1987). Asymptotic properties of maximum likelihood estimators and likelihood ratio tests under nonstandard conditions. Journal of the American Statistical Association, 82, 605-610. Venables, W. N., & Ripley, B. D. (2002). Modern Applied Statistics with S (4η έκδ.), ενότ. 7.4. Springer.