Regressione per dati di conteggio (Poisson e binomiale negativa)

In breve

Un conteggio (numeri interi a partire da 0, per esempio giorni di assenza, numero di visite mediche) viene previsto a partire da altre colonne. Statable calcola una regressione di Poisson e verifica se i valori variano più di quanto consente questo modello (sovradispersione); in tal caso calcola la binomiale negativa e lo dice per primo nel risultato. Si sceglie in «Altre opzioni» → «Modello» nella domanda «Si può prevedere qualcosa?»; per valori di destinazione che sembrano conteggi, Statable la propone.

A che cosa serve

I conteggi non sono mai negativi, spesso hanno asimmetria a destra e molti zeri. Una regressione lineare può dare previsioni negative. La regressione per dati di conteggio prevede il numero atteso e mostra, per ogni predittore, il fattore di cui lo cambia (IRR, rapporto tra tassi).

Requisiti

• Colonna di destinazione: numeri interi a partire da 0. Valori negativi o non interi bloccano il calcolo con una frase.
• Colonne di gruppi come predittori: il gruppo di riferimento è il primo livello (come in R); SPSS prende l’ultimo, e gli IRR diventano allora reciproci.
• Osservazioni indipendenti; le osservazioni hanno la stessa durata oppure è indicato il tempo di osservazione.
• Tempo di osservazione (facoltativo, in «Altre opzioni»): una colonna con valori maggiori di 0, per esempio il numero di settimane in cui si è contato. Statable usa allora il logaritmo del tempo come offset; gli IRR sono tassi per unità di tempo. Senza di essa ogni caso conta come osservato per lo stesso tempo; con un’osservazione disuguale i risultati vengono distorti.

Leggere il risultato

• IRR (exp(B)) per predittore con un intervallo di confidenza al 95% e p: il fattore di cui cambia il numero atteso quando il predittore aumenta di uno. 1 significa nessuna relazione. Per le colonne di gruppi, il confronto con il primo gruppo.
• Sovradispersione: Statable fornisce il χ² di Pearson/df del modello di Poisson (vicino a 1 è buono) e il test del rapporto di verosimiglianza Poisson rispetto a binomiale negativa. L’ipotesi nulla si trova sul confine (α = 0), per cui conta il valore p dimezzato. A p < ,05 Statable calcola la binomiale negativa. Se si forza Poisson in presenza di sovradispersione compare un avviso: i valori p sono allora troppo piccoli.
• Il modello binomiale negativo indica θ (più è piccolo, più forte è la sovradispersione). SPSS indica invece α = 1/θ.
• Test del modello e test del rapporto di verosimiglianza per predittore. Per i dati di conteggio Statable non fornisce R²: le misure di pseudo-R² sono incoerenti e si leggono facilmente come quota spiegata.

Esempio (Venables e Ripley 2002, dati MASS::quine, 146 scolari): giorni di assenza in base all’origine etnica, al sesso, alla fascia d’età e al tipo di apprendente. I valori variano più di quanto consente Poisson (χ² di Pearson/df = 13,2; test del rapporto di verosimiglianza χ² = 1192,0, p < ,001); Statable calcola quindi la binomiale negativa (θ = 1,27). Con Poisson i valori p sarebbero decisamente troppo piccoli. Per l’origine N il numero atteso di giorni di assenza è 0,57 volte quello di A (IRR = 0,57, IC al 95% [0,42; 0,76], p < ,001), cioè circa il 43% in meno.

Riportare il risultato

regressione binomiale negativa, θ = 1,27; χ²(6) = 25,12, p < ,001; Eth (N): IRR = 0,57, IC al 95% [0,42; 0,76], p < ,001

Nel testo, nomina il modello scelto e il motivo (sovradispersione). Non formularlo in modo causale.

Limiti

• Molti zeri: Statable non ha un modello per l’eccesso di zeri (zero-inflated, hurdle). Se la quota di zeri è nettamente superiore a quella attesa dal modello scelto (più di 1,5 volte e più del 10% dei casi), un avviso segnala che un simile modello andrebbe verificato.
• Il modello binomiale negativo stima θ con la verosimiglianza profilo. Nei casi regolari equivale a MASS::glm.nb, ma non fallisce con molti zeri.
• Gli SE di Wald trattano θ come fisso (come SPSS GENLIN).

Fonte

Cameron, A. C., & Trivedi, P. K. (2013). Regression Analysis of Count Data (2ª ed.). Cambridge University Press. Hilbe, J. M. (2011). Negative Binomial Regression (2ª ed.). Cambridge University Press. Self, S. G., & Liang, K.-Y. (1987). Asymptotic properties of maximum likelihood estimators and likelihood ratio tests under nonstandard conditions. Journal of the American Statistical Association, 82, 605-610. Venables, W. N., & Ripley, B. D. (2002). Modern Applied Statistics with S (4ª ed.), sez. 7.4. Springer.