Регресія лічильних даних (Пуассона та від’ємна біноміальна)

Коротко

Лічильне число (цілі числа від 0, наприклад пропущені дні, кількість візитів до лікаря) прогнозують за іншими стовпцями. Statable обчислює регресію Пуассона й перевіряє, чи значення розкидані більше, ніж допускає ця модель (надмірна дисперсія); тоді він обчислює від’ємну біноміальну модель і повідомляє про це першим у результаті. Її вибирають у розділі «Більше параметрів» → «Модель» у питанні «Чи можна щось спрогнозувати?»; для значень цілі, схожих на лічильні дані, Statable її пропонує.

Для чого це

Лічильні дані ніколи не бувають від’ємними, часто мають праву асиметрію та багато нулів. Лінійна регресія може давати від’ємні прогнози. Регресія лічильних даних прогнозує очікувану кількість і для кожного предиктора показує, на який множник вона змінюється (IRR, відношення інтенсивностей).

Умови

• Стовпець цілі: цілі числа від 0. Від’ємні або нецілі значення блокують обчислення, про що повідомляє речення.
• Стовпці груп як предиктори: референтною групою є перший рівень (як у R); SPSS бере останній, і тоді IRR взаємно обернені.
• Незалежні спостереження; спостереження тривають однаково довго або вказано час спостереження.
• Час спостереження (необов’язково, у розділі «Більше параметрів»): стовпець зі значеннями, більшими за 0, наприклад кількість тижнів, протягом яких велися підрахунки. Statable тоді використовує логарифм часу як офсет; IRR є інтенсивностями на одиницю часу. Без цього кожне спостереження вважається таким, що тривало однаково; за нерівного спостереження це спотворює результати.

Як читати результат

• IRR (exp(B)) для кожного предиктора з 95% довірчим інтервалом і p: множник, на який змінюється очікувана кількість, коли предиктор зростає на одиницю. 1 означає відсутність зв’язку. Для стовпців груп - порівняння з першою групою.
• Надмірна дисперсія: Statable подає χ²/df за Пірсоном для моделі Пуассона (близько 1 - добре) і критерій відношення правдоподібності модель Пуассона проти від’ємної біноміальної. Нульова гіпотеза лежить на межі (α = 0), тому враховують p, поділене навпіл. За p < ,05 Statable обчислює від’ємну біноміальну модель. Хто примусово задає модель Пуассона, отримує примітку, коли є надмірна дисперсія: p-значення тоді занадто малі.
• Від’ємна біноміальна модель подає θ (чим менше, тим сильніша надмірна дисперсія). SPSS замість цього подає α = 1/θ.
• Перевірка моделі та критерій відношення правдоподібності для кожного предиктора. Для лічильних даних Statable не подає R²: міри псевдо-R² неузгоджені й легко сприймаються як пояснена частка.

Приклад (Venables & Ripley 2002, дані MASS::quine, 146 школярів): пропущені дні залежно від етнічного походження, статі, вікової групи та типу учня. Значення розкидані більше, ніж допускає модель Пуассона (χ²/df за Пірсоном = 13,2; критерій LR χ² = 1 192,0, p < ,001); тому Statable обчислює від’ємну біноміальну модель (θ = 1,27). З моделлю Пуассона p-значення були б значно занадто малими. Для походження N очікувана кількість пропущених днів становить 0,57 від значення для A (IRR = 0,57, 95% ДІ [0,42; 0,76], p < ,001), тобто є нижчою приблизно на 43%.

Подання результату

від’ємна біноміальна регресія, θ = 1,27; χ²(6) = 25,12, p < ,001; Eth (N): IRR = 0,57, 95% ДІ [0,42; 0,76], p < ,001

У тексті назвіть вибрану модель і причину (надмірна дисперсія). Не формулюйте це причинно.

Обмеження

• Багато нулів: у Statable немає моделі для надлишку нулів (excess zeros) (zero-inflated, hurdle). Якщо частка нулів явно перевищує те, що очікує вибрана модель (більш ніж у 1,5 раза і більш ніж 10% спостережень), примітка повідомляє, що таку модель слід було б перевірити.
• Від’ємна біноміальна модель оцінює θ профільною правдоподібністю. У звичайних випадках це те саме, що MASS::glm.nb, але вона не дає збою за багатьох нулів.
• Стандартні похибки за Вальдом розглядають θ як фіксоване (як у SPSS GENLIN).

Джерело

Cameron, A. C., & Trivedi, P. K. (2013). Regression Analysis of Count Data (2-ге вид.). Cambridge University Press. Hilbe, J. M. (2011). Negative Binomial Regression (2-ге вид.). Cambridge University Press. Self, S. G., & Liang, K.-Y. (1987). Asymptotic properties of maximum likelihood estimators and likelihood ratio tests under nonstandard conditions. Journal of the American Statistical Association, 82, 605-610. Venables, W. N., & Ripley, B. D. (2002). Modern Applied Statistics with S (4-те вид.), п. 7.4. Springer.