Zähldaten-Regression (Poisson und negativ-binomial)

Kurz

Eine Zählung (ganze Zahlen ab 0, zum Beispiel Fehltage, Anzahl der Arztbesuche) wird aus anderen Spalten vorhergesagt. Statable rechnet eine Poisson-Regression und prüft, ob die Werte stärker streuen, als dieses Modell erlaubt (Überdispersion); dann rechnet es negativ-binomial und sagt das zuerst im Ergebnis. Gewählt wird es unter „Weitere Wege“ → „Modell“ in der Frage „Lässt sich etwas vorhersagen?“; bei Zielwerten, die nach Zählungen aussehen, schlägt Statable es vor.

Wofür

Zählungen sind nie negativ, oft rechtsschief und haben viele Nullen. Eine lineare Regression kann negative Vorhersagen liefern. Die Zähldaten-Regression sagt die erwartete Zahl voraus und zeigt je Vorhersagegröße, um welchen Faktor sie sich ändert (IRR, Rate-Verhältnis).

Voraussetzungen

• Zielspalte: ganze Zahlen ab 0. Negative oder nicht ganze Werte sperren die Rechnung mit einem Satz.
• Gruppen-Spalten als Vorhersagegrößen: Vergleichsgruppe ist die erste Stufe (wie in R); SPSS nimmt die letzte, die IRR sind dann Kehrwerte.
• Unabhängige Beobachtungen; die Beobachtungen sind gleich lang oder die Beobachtungszeit ist angegeben.
• Beobachtungszeit (optional, unter „Weitere Wege“): eine Spalte mit Werten größer als 0, zum Beispiel die Zahl der Wochen, in denen gezählt wurde. Statable rechnet dann mit dem Logarithmus der Zeit als Offset; die IRR sind Raten je Zeiteinheit. Ohne Angabe gilt jeder Fall als gleich lang beobachtet; bei ungleicher Beobachtung verzerrt das die Ergebnisse.

Ergebnis lesen

• IRR (exp(B)) je Vorhersagegröße mit 95 %-Konfidenzintervall und p: der Faktor, um den sich die erwartete Zahl ändert, wenn die Vorhersagegröße um eins steigt. 1 heißt kein Zusammenhang. Bei Gruppen-Spalten der Vergleich mit der ersten Gruppe.
• Überdispersion: Statable nennt Pearson χ²/df des Poisson-Modells (nahe 1 ist gut) und den Likelihood-Quotienten-Test Poisson gegen negativ-binomial. Die Nullhypothese liegt am Rand (α = 0), darum zählt der halbierte p-Wert. Bei p < ,05 rechnet Statable negativ-binomial. Wer Poisson erzwingt, bekommt bei Überdispersion einen Hinweis: Die p-Werte sind dann zu klein.
• Beim negativ-binomialen Modell steht θ (je kleiner, desto stärker die Überdispersion). SPSS gibt stattdessen α = 1/θ aus.
• Modelltest und Likelihood-Quotienten-Test je Vorhersagegröße. Ein R² gibt Statable bei Zähldaten nicht an: Pseudo-R² sind uneinheitlich und werden leicht als erklärter Anteil gelesen.

Beispiel (Venables & Ripley 2002, Daten MASS::quine, 146 Schulkinder): Fehltage aus Herkunft, Geschlecht, Altersstufe und Lerntyp. Die Werte streuen stärker, als Poisson erlaubt (Pearson χ²/df = 13,2; LR-Test χ² = 1 192,0, p < ,001); Statable rechnet darum negativ-binomial (θ = 1,27). Mit Poisson wären die p-Werte viel zu klein. Bei der Herkunft N ist die erwartete Zahl der Fehltage um den Faktor 0,57 niedriger als bei A (IRR = 0,57, 95 %-KI [0,42; 0,76], p < ,001), also um etwa 43 %.

Ergebnis berichten

negativ-binomiale Regression, θ = 1,27; χ²(6) = 25,12, p < ,001; Eth (N): IRR = 0,57, 95 %-KI [0,42; 0,76], p < ,001

Im Text das gewählte Modell und den Grund nennen (Überdispersion). Nicht kausal formulieren.

Grenzen

• Viele Nullen: Ein Modell für Null-Überschuss (Zero-inflated, Hurdle) gibt es in Statable nicht. Liegt der Anteil der Nullen deutlich über dem, was das gewählte Modell erwartet (mehr als das 1,5-Fache und mehr als 10 % der Fälle), steht ein Hinweis, dass ein solches Modell zu prüfen wäre.
• Das negativ-binomiale Modell schätzt θ über die Profil-Likelihood. Das ist in regulären Fällen dasselbe wie MASS::glm.nb, versagt aber bei vielen Nullen nicht.
• Die Wald-Standardfehler behandeln θ als fest (wie SPSS GENLIN).

Quelle

Cameron, A. C. & Trivedi, P. K. (2013). Regression Analysis of Count Data (2. Aufl.). Cambridge University Press. Hilbe, J. M. (2011). Negative Binomial Regression (2. Aufl.). Cambridge University Press. Self, S. G. & Liang, K.-Y. (1987). Asymptotic properties of maximum likelihood estimators and likelihood ratio tests under nonstandard conditions. Journal of the American Statistical Association, 82, 605-610. Venables, W. N. & Ripley, B. D. (2002). Modern Applied Statistics with S (4. Aufl.), Kap. 7.4. Springer.