La relation est-elle une courbe plutôt qu’une droite ? (régression non linéaire, quatre formules fixes)

En bref

La relation est-elle une courbe plutôt qu’une droite ? La régression non linéaire ajuste l’une de quatre formules fixes : Michaelis-Menten, exponentielle, logistique ou puissance. La cible est un nombre, prédit à partir d’un seul nombre. La formule doit être justifiée par le sujet.

Comment cela fonctionne dans Statable

1. « Nouvelle analyse », puis choisissez la carte « Peut-on prédire quelque chose ? ».
2. Choisissez la colonne cible et exactement une colonne de prédiction avec des nombres.
3. « Plus d’options » → « Modèle » → « Régression non linéaire (formule fixe) », puis choisissez la formule.
4. Le résultat montre les paramètres avec des intervalles ; il n’y a pas de R².

Les quatre formules

• Michaelis-Menten : y = a · x / (b + x). La courbe monte et s’approche d’une limite supérieure a (saturation).
• Exponentielle : y = a · exp(b · x). Croissance ou décroissance du même pourcentage à chaque pas.
• Logistique : y = a / (1 + exp((c − x) / b)). Une courbe en S avec une limite supérieure a et un point médian en c.
• Puissance : y = a · x^b. La courbe monte ou descend avec la puissance b.

Il n’y a pas de formule libre. La formule est une décision de fond et ne doit pas être choisie selon celle qui s’ajuste le mieux.

À quoi ressemble le tableau

Une ligne par cas, une colonne cible avec des nombres et exactement une colonne de prédicteur avec des nombres. Les lignes avec une lacune dans l’une des deux colonnes sont écartées ; leur nombre est affiché dans le résultat. Selon la formule, le calcul exige des valeurs positives pour les valeurs initiales : pour Michaelis-Menten et puissance, x et y supérieurs à 0, pour exponentielle et logistique, y supérieur à 0. Sinon, Statable bloque le calcul et dit dans combien de cas cela ne s’applique pas.

Lire le résultat

• Pour chaque paramètre (a, b, avec la formule logistique aussi c), on affiche l’estimation b, SE, t, p et deux intervalles à 95 % : l’intervalle de Wald (avec la loi t et les degrés de liberté df indiqués) et l’intervalle de profil. Si l’intervalle de profil ne peut pas être calculé, une phrase le dit et l’intervalle de Wald reste.
• Le modèle : n, df, la somme des carrés des résidus (RSS), l’écart type des résidus σ et l’AIC.
• L’image montre les points et la courbe ajustée ; un tableau montre les valeurs ajustées et les résidus.

Quand le calcul échoue

Si le calcul ne trouve aucun résultat (pas de convergence), Statable n’affiche pas de nombres mais une phrase. La formule ne convient alors probablement pas aux données, ou les valeurs initiales ne suffisent pas. Ajuster une droite comme courbe de Michaelis-Menten échoue, par exemple.

Piège : ce que les nombres ne disent pas

• Il n’y a pas de R². Dans les modèles non linéaires, le R² apparent ne se lit pas comme en régression linéaire ; c’est pourquoi Statable n’en donne pas.
• La formule doit être justifiée par le fond. Qu’une courbe s’ajuste bien ne prouve pas encore que la relation suit cette forme.
• Le calcul trouve un optimum local. Avec d’autres valeurs initiales, une autre solution peut en résulter.
• Les affirmations pour x en dehors de la plage des données ne sont pas couvertes : la courbe peut y suivre un tout autre cours.
• Les valeurs p et les intervalles sont des approximations. L’intervalle de Wald et l’intervalle de profil peuvent différer considérablement. Les résidus doivent être examinés.
• Si R signale un avertissement pendant le calcul, il est affiché dans le résultat ; les nombres sont alors à lire avec prudence.

Conditions et limites

• Les cas sont indépendants les uns des autres, et la dispersion autour de la courbe est à peu près égale. Le tableau des résidus aide à le vérifier.
• Il faut plus de cas et plus de valeurs x différentes que de paramètres.

Rapporter le résultat

régression non linéaire (Michaelis-Menten), a = 212,68, b = 0,06, RSS = 1195,45, df = 10

Exemples typiques

• À quelle vitesse une réaction se déroule-t-elle selon la concentration (Michaelis-Menten) ?
• Comment un stock croît-il au fil du temps (exponentiellement ou logistiquement) ?

Pour les spécialistes

R (stats) : nls(formula, start = s, control = nls.control(maxiter = 200, tol = 1e-7, minFactor = 1/4096)). Les valeurs initiales s viennent automatiquement de régressions linéaires auxiliaires. L’intervalle de profil est confint() sur le modèle nls. Vérifié sur Puromycin (Michaelis-Menten), ChickWeight (exponentielle), DNase (logistique) et cars (puissance) par des calculs indépendants : les paramètres, les erreurs standard et la somme des carrés des résidus concordent.