Η σχέση είναι καμπύλη και όχι ευθεία; (μη γραμμική παλινδρόμηση, τέσσερις σταθεροί τύποι)

Εν συντομία

Η σχέση είναι καμπύλη και όχι ευθεία; Η μη γραμμική παλινδρόμηση προσαρμόζει έναν από τέσσερις σταθερούς τύπους: Michaelis-Menten, εκθετικό, λογιστικό ή δύναμη. Ο στόχος είναι αριθμός, που προβλέπεται από ακριβώς έναν αριθμό. Ο τύπος πρέπει να τεκμηριώνεται από το αντικείμενο.

Πώς λειτουργεί στο Statable

1. «Νέα ανάλυση», έπειτα επιλέξτε την κάρτα «Μπορεί να προβλεφθεί κάτι;».
2. Επιλέξτε τη στήλη του στόχου και ακριβώς μία στήλη προβλέπτη με αριθμούς.
3. «Περισσότερες επιλογές» → «Μοντέλο» → «Μη γραμμική παλινδρόμηση (σταθερός τύπος)», έπειτα επιλέξτε τον τύπο.
4. Το αποτέλεσμα δείχνει τις παραμέτρους με διαστήματα· R² δεν υπάρχει.

Οι τέσσερις τύποι

• Michaelis-Menten: y = a · x / (b + x). Η καμπύλη ανεβαίνει και πλησιάζει ένα άνω όριο a (κορεσμός).
• Εκθετικός: y = a · exp(b · x). Αύξηση ή μείωση με το ίδιο ποσοστό σε κάθε βήμα.
• Λογιστικός: y = a / (1 + exp((c − x) / b)). Μια καμπύλη σχήματος S με άνω όριο a και μέσο σημείο στο c.
• Δύναμης: y = a · x^b. Η καμπύλη ανεβαίνει ή κατεβαίνει με τη δύναμη b.

Δεν υπάρχει ελεύθερος τύπος. Ο τύπος είναι επιστημονική απόφαση και δεν πρέπει να επιλέγεται με βάση το ποιος ταιριάζει καλύτερα.

Πώς φαίνεται ο πίνακας

Μία γραμμή ανά περίπτωση, μια στήλη εξαρτημένης μεταβλητής με αριθμούς και ακριβώς μία στήλη προβλεπτικής μεταβλητής με αριθμούς. Γραμμές με κενό σε μία από τις δύο στήλες παραλείπονται. Ο αριθμός τους εμφανίζεται στο αποτέλεσμα. Ανάλογα με τον τύπο, ο υπολογισμός χρειάζεται θετικές τιμές για τις αρχικές τιμές: στον Michaelis-Menten και στον τύπο δύναμης τα x και y μεγαλύτερα από 0, στον εκθετικό και στον λογιστικό το y μεγαλύτερο από 0. Διαφορετικά το Statable μπλοκάρει τον υπολογισμό και λέει σε πόσες περιπτώσεις αυτό δεν ισχύει.

Ανάγνωση του αποτελέσματος

• Για κάθε παράμετρο (a, b, στον λογιστικό τύπο και c) εμφανίζονται η εκτίμηση b, το SE, το t, το p και δύο διαστήματα 95%: το διάστημα Wald (με την κατανομή t και τους βαθμούς ελευθερίας df που αναγράφονται) και το διάστημα προφίλ. Αν το διάστημα προφίλ δεν μπορεί να υπολογιστεί, το λέει μια πρόταση και μένει το διάστημα Wald.
• Το μοντέλο: n, df, το άθροισμα τετραγώνων των καταλοίπων (RSS), η τυπική απόκλιση των καταλοίπων σ και το AIC.
• Η εικόνα δείχνει τα σημεία και την προσαρμοσμένη καμπύλη. Ένας πίνακας δείχνει τις προσαρμοσμένες τιμές και τα κατάλοιπα.

Όταν ο υπολογισμός αποτύχει

Αν ο υπολογισμός δεν βρει αποτέλεσμα (καμία σύγκλιση), το Statable δεν δείχνει αριθμούς αλλά μια πρόταση. Τότε ο τύπος πιθανώς δεν ταιριάζει με τα δεδομένα ή οι αρχικές τιμές δεν επαρκούν. Για παράδειγμα, η προσαρμογή μιας ευθείας ως καμπύλης Michaelis-Menten αποτυγχάνει.

Παγίδα: τι δεν λένε οι αριθμοί

• Δεν υπάρχει R². Στα μη γραμμικά μοντέλα το φαινομενικό R² δεν διαβάζεται όπως στη γραμμική παλινδρόμηση, γι' αυτό το Statable δεν δίνει κανένα.
• Ο τύπος πρέπει να τεκμηριώνεται επιστημονικά. Το ότι μια καμπύλη ταιριάζει καλά δεν αποδεικνύει ακόμη ότι η σχέση έχει αυτή τη μορφή.
• Ο υπολογισμός βρίσκει τοπικό βέλτιστο. Με άλλες αρχικές τιμές μπορεί να προκύψει άλλη λύση.
• Οι δηλώσεις για x εκτός του εύρους των δεδομένων δεν καλύπτονται: η καμπύλη μπορεί εκεί να τρέχει εντελώς διαφορετικά.
• Οι τιμές p και τα διαστήματα είναι προσεγγίσεις. Το διάστημα Wald και το διάστημα προφίλ μπορούν να διαφέρουν σημαντικά. Τα κατάλοιπα πρέπει να εξεταστούν.
• Αν το R αναφέρει προειδοποίηση κατά τον υπολογισμό, αυτή εμφανίζεται στο αποτέλεσμα. Οι αριθμοί πρέπει τότε να διαβάζονται με προσοχή.

Προϋποθέσεις και όρια

• Οι περιπτώσεις είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους και η διασπορά γύρω από την καμπύλη είναι περίπου ίση. Ο πίνακας των καταλοίπων βοηθά στον έλεγχο.
• Χρειάζονται περισσότερες περιπτώσεις και περισσότερες διαφορετικές τιμές x από παραμέτρους.

Αναφορά του αποτελέσματος

μη γραμμική παλινδρόμηση (Michaelis-Menten), a = 212,68, b = 0,06, RSS = 1195,45, df = 10

Τυπικά παραδείγματα

• Πόσο γρήγορα εξελίσσεται μια αντίδραση ανάλογα με τη συγκέντρωση (Michaelis-Menten);
• Πώς αυξάνεται ένα απόθεμα στον χρόνο (εκθετικά ή λογιστικά);

Για ειδικούς

R (stats): nls(formula, start = s, control = nls.control(maxiter = 200, tol = 1e-7, minFactor = 1/4096)). Οι αρχικές τιμές s προκύπτουν αυτόματα από γραμμικές βοηθητικές παλινδρομήσεις. Το διάστημα προφίλ είναι το confint() στο μοντέλο nls. Ελέγχθηκε στα Puromycin (Michaelis-Menten), ChickWeight (εκθετικός), DNase (λογιστικός) και cars (δύναμης) με ανεξάρτητους υπολογισμούς: οι παράμετροι, τα τυπικά σφάλματα και το άθροισμα τετραγώνων των καταλοίπων συμφωνούν.