Relația este o curbă, nu o dreaptă? (regresie neliniară, patru formule fixe)

Pe scurt

Relația este o curbă, nu o dreaptă? Regresia neliniară potrivește una din patru formule fixe: Michaelis-Menten, exponențială, logistică sau putere. Ținta este un număr, prezis dintr-un singur număr. Formula trebuie justificată de domeniu.

Cum funcționează în Statable

1. „Analiză nouă”, apoi alegeți cartea „Se poate prezice ceva?”.
2. Alegeți coloana țintă și exact o coloană predictor cu numere.
3. „Mai multe opțiuni” → „Model” → „Regresie neliniară (formulă fixă)”, apoi alegeți formula.
4. Rezultatul arată parametrii cu intervale; nu există R².

Cele patru formule

• Michaelis-Menten: y = a · x / (b + x). Curba crește și se apropie de o limită superioară a (saturație).
• Exponențială: y = a · exp(b · x). Creștere sau scădere cu același procent la fiecare pas.
• Logistică: y = a / (1 + exp((c − x) / b)). O curbă în formă de S cu limita superioară a și punctul de mijloc la c.
• Putere: y = a · x^b. Curba crește sau scade cu puterea b.

Nu există o formulă liberă. Formula este o decizie de conținut și nu trebuie aleasă după cea care se potrivește cel mai bine.

Cum arată tabelul

Un rând pe caz, o coloană țintă cu numere și exact o coloană predictor cu numere. Rândurile cu un gol într-una dintre cele două coloane sunt omise; numărul este afișat în rezultat. În funcție de formulă, calculul are nevoie de valori pozitive pentru valorile inițiale: la Michaelis-Menten și la putere x și y peste 0, la exponențială și logistică y peste 0. Altfel Statable blochează calculul și spune în câte cazuri aceasta nu este îndeplinită.

Citirea rezultatului

• Pentru fiecare parametru (a, b, la formula logistică și c) se afișează estimarea b, SE, t, p și două intervale de 95%: intervalul Wald (cu distribuția t și gradele de libertate df indicate) și intervalul de profil. Dacă intervalul de profil nu poate fi calculat, o propoziție o spune, iar intervalul Wald rămâne.
• Modelul: n, df, suma pătratelor reziduurilor (RSS), abaterea standard a reziduurilor σ și AIC.
• Imaginea arată punctele și curba ajustată; un tabel arată valorile ajustate și reziduurile.

Când calculul eșuează

Dacă calculul nu găsește niciun rezultat (nicio convergență), Statable nu arată numere, ci o propoziție. Atunci formula probabil nu se potrivește datelor sau valorile inițiale nu sunt suficiente. De exemplu, ajustarea unei drepte ca o curbă Michaelis-Menten eșuează.

Capcană: ce nu spun numerele

• Nu există R². În modelele neliniare, R² aparent nu poate fi citit ca în regresia liniară; de aceea Statable nu îl dă.
• Formula trebuie justificată pe baza conținutului. Faptul că o curbă se potrivește bine nu arată încă faptul că relația are acest curs.
• Calculul găsește un optim local. Cu alte valori inițiale poate rezulta o altă soluție.
• Afirmațiile pentru x în afara intervalului datelor nu sunt acoperite: curba poate avea acolo un curs complet diferit.
• Valorile p și intervalele sunt aproximări. Intervalul Wald și intervalul de profil pot diferi considerabil. Reziduurile trebuie examinate.
• Dacă R raportează un avertisment în timpul calculului, acesta este afișat în rezultat; numerele trebuie atunci citite cu prudență.

Cerințe și limite

• Cazurile sunt independente unele de altele, iar dispersia în jurul curbei este aproximativ egală. Tabelul reziduurilor ajută la verificare.
• Sunt necesare mai multe cazuri și mai multe valori x diferite decât parametri.

Raportarea rezultatului

regresie neliniară (Michaelis-Menten), a = 212,68, b = 0,06, RSS = 1195,45, df = 10

Exemple tipice

• Cât de repede decurge o reacție în funcție de concentrație (Michaelis-Menten)?
• Cum crește un stoc în timp (exponențial sau logistic)?

Pentru specialiști

R (stats): nls(formula, start = s, control = nls.control(maxiter = 200, tol = 1e-7, minFactor = 1/4096)). Valorile inițiale s provin automat din regresii liniare auxiliare. Intervalul de profil este confint() pe modelul nls. Verificat pe Puromycin (Michaelis-Menten), ChickWeight (exponențială), DNase (logistică) și cars (putere) prin calcule independente: parametrii, erorile standard și suma pătratelor reziduurilor concordă.