Je vztah křivka, a ne přímka? (nelineární regrese, čtyři pevné vzorce)

Stručně

Je vztah křivka, a ne přímka? Nelineární regrese přizpůsobí jeden ze čtyř pevných vzorců: Michaelis-Mentenové, exponenciální, logistický nebo mocninný. Cílem je číslo, předpovídané z právě jednoho čísla. Vzorec musí být oborově zdůvodněn.

Jak to funguje ve Statable

1. „Nová analýza“, poté zvolte kartu „Lze něco předpovědět?“.
2. Zvolte sloupec cíle a právě jeden sloupec prediktoru s čísly.
3. „Další volby“ → „Model“ → „Nelineární regrese (pevný vzorec)“, poté zvolte vzorec.
4. Výsledek ukáže parametry s intervaly; R² neexistuje.

Čtyři vzorce

• Michaelis-Menten: y = a · x / (b + x). Křivka roste a blíží se horní mezi a (nasycení).
• Exponenciální: y = a · exp(b · x). Růst nebo pokles o stejné procento na krok.
• Logistický: y = a / (1 + exp((c − x) / b)). Křivka ve tvaru S s horní mezí a a středem v c.
• Mocninný: y = a · x^b. Křivka s mocninou b roste nebo klesá.

Volný vzorec neexistuje. Vzorec je věcné rozhodnutí a nemá se vybírat podle toho, který nejlépe sedí.

Jak tabulka vypadá

Jeden řádek na případ, sloupec závislé proměnné s čísly a právě jeden sloupec prediktoru s čísly. Řádky s mezerou v jednom z obou sloupců se vynechají; jejich počet je uveden ve výsledku. Podle vzorce výpočet pro počáteční hodnoty potřebuje kladné hodnoty: u Michaelis-Menten a mocninného vzorce x a y větší než 0, u exponenciálního a logistického y větší než 0. Jinak Statable výpočet zablokuje a uvede, u kolika případů to neplatí.

Čtení výsledku

• U každého parametru (a, b, u logistického vzorce také c) se zobrazí odhad b, SE, t, p a dva 95% intervaly: Waldův interval (s rozdělením t a uvedenými stupni volnosti df) a profilový interval. Pokud profilový interval nelze vypočítat, uvede to jedna věta a zůstane Waldův interval.
• Model: n, df, součet čtverců reziduí (RSS), směrodatná odchylka reziduí σ a AIC.
• Obrázek ukazuje body a proloženou křivku; tabulka ukazuje proložené hodnoty a rezidua.

Když výpočet selže

Pokud výpočet nenajde výsledek (žádná konvergence), Statable nezobrazí čísla, ale větu. Pak vzorec pravděpodobně k datům nesedí, nebo počáteční hodnoty nestačí. Například proložení přímky jako křivky Michaelis-Menten selže.

Past: co čísla neříkají

• R² se neuvádí. U nelineárních modelů nelze zdánlivé R² číst jako u lineární regrese; proto ho Statable neuvádí.
• Vzorec musí být odůvodněn věcně. To, že křivka dobře sedí, ještě neprokazuje, že vztah takto probíhá.
• Výpočet nachází lokální optimum. S jinými počátečními hodnotami může vyjít jiné řešení.
• Tvrzení pro x mimo rozsah dat nejsou podložena: křivka tam může probíhat zcela jinak.
• Hodnoty p a intervaly jsou aproximace. Waldův interval a profilový interval se mohou výrazně lišit. Rezidua je třeba prohlédnout.
• Pokud R při výpočtu ohlásí varování, zobrazí se ve výsledku; čísla je pak třeba číst opatrně.

Požadavky a omezení

• Případy jsou na sobě nezávislé a rozptyl kolem křivky je přibližně stejný. Při kontrole pomáhá tabulka reziduí.
• Je potřeba více případů a více různých hodnot x než parametrů.

Uvedení výsledku

nelineární regrese (Michaelis-Menten), a = 212,68, b = 0,06, RSS = 1195,45, df = 10

Typické příklady

• Jak rychle probíhá reakce v závislosti na koncentraci (Michaelis-Menten)?
• Jak roste zásoba v čase (exponenciálně nebo logisticky)?

Pro odborníky

R (stats): nls(formula, start = s, control = nls.control(maxiter = 200, tol = 1e-7, minFactor = 1/4096)). Počáteční hodnoty s vycházejí automaticky z lineárních pomocných regresí. Profilový interval je confint() na modelu nls. Ověřeno na Puromycin (Michaelis-Menten), ChickWeight (exponenciální), DNase (logistický) a cars (mocninný) nezávislými výpočty: parametry, standardní chyby a součet čtverců reziduí souhlasí.