Az összefüggés görbe, nem egyenes? (nemlineáris regresszió, négy rögzített képlet)

Röviden

Az összefüggés görbe, nem egyenes? A nemlineáris regresszió négy rögzített képlet egyikét illeszti: Michaelis-Menten, exponenciális, logisztikus vagy hatvány. A cél egy szám, pontosan egy számból előrejelezve. A képletnek szakmailag megalapozottnak kell lennie.

Hogyan működik a Statable-ben

1. „Új elemzés”, majd válaszd ki a(z) „Előre jelezhető valami?” kártyát.
2. Válaszd ki a célt tartalmazó oszlopot és pontosan egy előrejelző számoszlopot.
3. „További beállítások” → „Modell” → „Nemlineáris regresszió (rögzített képlet)”, majd válaszd ki a képletet.
4. Az eredmény a paramétereket mutatja intervallumokkal; R² nincs.

A négy képlet

• Michaelis-Menten: y = a · x / (b + x). A görbe emelkedik, és egy a felső határhoz közelít (telítődés).
• Exponenciális: y = a · exp(b · x). Lépésenként azonos százalékos növekedés vagy csökkenés.
• Logisztikus: y = a / (1 + exp((c − x) / b)). S alakú görbe a felső határral és a c-nél lévő középponttal.
• Hatvány: y = a · x^b. A görbe a b hatvánnyal emelkedik vagy csökken.

Szabad képlet nincs. A képlet tartalmi döntés, és nem szabad azt választani, amelyik a legjobban illeszkedik.

Így néz ki a táblázat

Esetenként egy sor, egy számokat tartalmazó célváltozó-oszlop és pontosan egy számokat tartalmazó prediktoroszlop. A két oszlop egyikében hézagos sorok kimaradnak; a számuk megjelenik az eredményben. A képlettől függően a számításhoz a kezdőértékekhez pozitív értékek kellenek: Michaelis-Menten és hatvány esetén az x és az y 0-nál nagyobb, exponenciálisnál és logisztikusnál az y 0-nál nagyobb. Különben a Statable letiltja a számítást, és megmondja, hány esetben nem áll fenn ez.

Az eredmény értelmezése

• Minden paraméterhez (a, b, logisztikus képletnél c is) megjelenik a b becslés, az SE, a t, a p és két 95%-os intervallum: a Wald-intervallum (a t-eloszlással és a megadott df szabadságfokkal) és a profilintervallum. Ha a profilintervallum nem számítható ki, egy mondat ezt közli, és a Wald-intervallum marad.
• A modell: n, df, a reziduumok négyzetösszege (RSS), a reziduumok szórása σ és az AIC.
• A kép a pontokat és az illesztett görbét mutatja; egy táblázat az illesztett értékeket és a reziduumokat.

Ha a számítás nem sikerül

Ha a számítás nem talál eredményt (nincs konvergencia), a Statable nem számokat, hanem egy mondatot mutat. Ilyenkor a képlet valószínűleg nem illik az adatokhoz, vagy a kezdőértékek nem elegendők. Például egy egyenes illesztése Michaelis-Menten-görbeként nem sikerül.

Csapda: amit a számok nem mondanak

• R² nincs. Nemlineáris modellekben a látszólagos R² nem olvasható úgy, mint a lineáris regresszióban; ezért a Statable nem ad meg ilyet.
• A képletet tartalmilag meg kell indokolni. Az, hogy egy görbe jól illeszkedik, még nem bizonyítja, hogy a kapcsolat így fut.
• A számítás lokális optimumot talál. Más kezdőértékekkel más megoldás is kijöhet.
• Az adatok tartományán kívüli x-ekre vonatkozó kijelentéseket az adatok nem fedik le: a görbe ott egészen másként futhat.
• A p-értékek és az intervallumok közelítések. A Wald-intervallum és a profilintervallum jelentősen eltérhet. A reziduumokat meg kell vizsgálni.
• Ha az R figyelmeztetést jelez a számítás közben, az megjelenik az eredményben; a számokat ilyenkor óvatosan kell olvasni.

Feltételek és korlátok

• Az esetek egymástól függetlenek, és a görbe körüli szóródás nagyjából egyenlő. A reziduumok táblázata segít az ellenőrzésben.
• Több esetre és több különböző x-értékre van szükség, mint ahány paraméter van.

Az eredmény közlése

nemlineáris regresszió (Michaelis-Menten), a = 212,68, b = 0,06, RSS = 1195,45, df = 10

Tipikus példák

• Milyen gyorsan zajlik egy reakció a koncentráció függvényében (Michaelis-Menten)?
• Hogyan nő egy állomány az idő során (exponenciálisan vagy logisztikusan)?

Szakembereknek

R (stats): nls(formula, start = s, control = nls.control(maxiter = 200, tol = 1e-7, minFactor = 1/4096)). Az s kezdőértékek automatikusan lineáris segédregressziókból származnak. A profilintervallum a confint() az nls modellen. Ellenőrizve a Puromycin (Michaelis-Menten), a ChickWeight (exponenciális), a DNase (logisztikus) és a cars (hatvány) adatokon független számításokkal: a paraméterek, a standard hibák és a reziduumok négyzetösszege egyezik.