Är sambandet en kurva i stället för en rät linje? (icke-linjär regression, fyra fasta formler)

Kort sagt

Är sambandet en kurva i stället för en rät linje? Den icke-linjära regressionen anpassar en av fyra fasta formler: Michaelis-Menten, exponentiell, logistisk eller potens. Målet är ett tal, förutsagt ur exakt ett tal. Formeln måste vara sakligt motiverad.

Så fungerar det i Statable

1. ”Ny analys”, välj sedan kortet ”Går det att förutsäga något?”.
2. Välj målkolumnen och exakt en prediktorkolumn med tal.
3. ”Fler alternativ” → ”Modell” → ”Icke-linjär regression (fast formel)”, välj sedan formeln.
4. Resultatet visar parametrarna med intervall; något R² finns inte.

De fyra formlerna

• Michaelis-Menten: y = a · x / (b + x). Kurvan stiger och närmar sig en övre gräns a (mättnad).
• Exponentiell: y = a · exp(b · x). Tillväxt eller minskning med samma procent per steg.
• Logistisk: y = a / (1 + exp((c − x) / b)). En S-formad kurva med övre gräns a och mittpunkt vid c.
• Potens: y = a · x^b. Kurvan stiger eller faller med potensen b.

Det finns ingen fri formel. Formeln är ett sakligt beslut och ska inte väljas efter vilken som passar bäst.

Så ser tabellen ut

En rad per fall, en målkolumn med tal och exakt en prediktorkolumn med tal. Rader med ett hål i någon av de två kolumnerna utelämnas; antalet visas i resultatet. Beroende på formeln behöver beräkningen positiva värden för startvärdena: för Michaelis-Menten och potens x och y över 0, för exponentiell och logistisk y över 0. Annars blockerar Statable beräkningen och anger i hur många fall det inte gäller.

Läsa resultatet

• För varje parameter (a, b, vid den logistiska formeln även c) visas skattningen b, SE, t, p och två 95 %-intervall: Wald-intervallet (med t-fördelningen och de angivna frihetsgraderna df) och profilintervallet. Om profilintervallet inte kan beräknas anger en mening det och Wald-intervallet återstår.
• Modellen: n, df, kvadratsumman av residualerna (RSS), residualernas standardavvikelse σ och AIC.
• Bilden visar punkterna och den anpassade kurvan; en tabell visar de anpassade värdena och residualerna.

När beräkningen misslyckas

Om beräkningen inte hittar något resultat (ingen konvergens) visar Statable inga tal utan en mening. Då passar formeln förmodligen inte data, eller så räcker inte startvärdena. Att anpassa en rät linje som en Michaelis-Menten-kurva misslyckas till exempel.

Fallgrop: vad talen inte säger

• Det finns inget R². I icke-linjära modeller kan det skenbara R² inte läsas som i linjär regression; därför anger Statable inget.
• Formeln måste motiveras i sak. Att en kurva passar bra bevisar ännu inte att sambandet ser ut så.
• Beräkningen hittar ett lokalt optimum. Med andra startvärden kan en annan lösning uppstå.
• Påståenden för x utanför dataintervallet täcks inte: kurvan kan där se helt annorlunda ut.
• p-värdena och intervallen är approximationer. Wald-intervallet och profilintervallet kan skilja sig avsevärt. Residualerna bör granskas.
• Om R rapporterar en varning under beräkningen visas den i resultatet; talen ska då läsas med försiktighet.

Förutsättningar och begränsningar

• Fallen är oberoende av varandra, och spridningen kring kurvan är ungefär lika. Residualtabellen hjälper vid kontrollen.
• Det behövs fler fall och fler olika x-värden än parametrar.

Redovisa resultatet

icke-linjär regression (Michaelis-Menten), a = 212,68, b = 0,06, RSS = 1195,45, df = 10

Typiska exempel

• Hur snabbt förlöper en reaktion beroende på koncentrationen (Michaelis-Menten)?
• Hur växer ett lager över tid (exponentiellt eller logistiskt)?

För specialister

R (stats): nls(formula, start = s, control = nls.control(maxiter = 200, tol = 1e-7, minFactor = 1/4096)). Startvärdena s kommer automatiskt från linjära hjälpregressioner. Profilintervallet är confint() på nls-modellen. Kontrollerat på Puromycin (Michaelis-Menten), ChickWeight (exponentiell), DNase (logistisk) och cars (potens) mot oberoende beräkningar: parametrar, standardfel och kvadratsumma av residualerna stämmer överens.