Verläuft der Zusammenhang als Kurve statt als Gerade? (Nichtlineare Regression, vier feste Formeln)

Kurz

Verläuft der Zusammenhang als Kurve statt als Gerade? Die nichtlineare Regression passt eine von vier festen Formeln an: Michaelis-Menten, exponentiell, logistisch oder Potenz. Das Ziel ist eine Zahl, vorhergesagt wird aus genau einer Zahl. Die Formel muss sachlich begründet sein.

So geht es in Statable

1. „Neue Auswertung“, dann die Karte „Lässt sich etwas vorhersagen?“ wählen.
2. Die Zielspalte und genau eine Vorhersagespalte mit Zahlen wählen.
3. „Weitere Wege“ → „Modell“ → „Nichtlineare Regression (feste Formel)“, dann die Formel wählen.
4. Das Ergebnis zeigt die Parameter mit Intervallen; ein R² gibt es nicht.

Die vier Formeln

• Michaelis-Menten: y = a · x / (b + x). Die Kurve steigt und nähert sich einer Obergrenze a (Sättigung).
• Exponentiell: y = a · exp(b · x). Wachstum oder Abnahme mit gleichem Prozentsatz je Schritt.
• Logistisch: y = a / (1 + exp((c − x) / b)). Eine S-förmige Kurve mit Obergrenze a und Mitte bei c.
• Potenz: y = a · x^b. Die Kurve steigt oder fällt mit der Potenz b.

Eine freie Formel gibt es nicht. Die Formel ist eine sachliche Entscheidung und nicht danach zu wählen, welche am besten passt.

So sieht die Tabelle aus

Eine Zeile je Fall, eine Zielspalte mit Zahlen und genau eine Vorhersagespalte mit Zahlen. Zeilen mit einer Lücke in einer der beiden Spalten werden ausgelassen; die Zahl steht im Ergebnis. Je nach Formel braucht die Rechnung für die Startwerte positive Werte: bei Michaelis-Menten und Potenz x und y größer als 0, bei exponentiell und logistisch y größer als 0. Sonst sperrt Statable die Rechnung und sagt, bei wie vielen Fällen es nicht zutrifft.

Ergebnis lesen

• Zu jedem Parameter (a, b, bei der logistischen Formel auch c) stehen der Schätzwert b, SE, t, p und zwei 95-%-Intervalle: das Wald-Intervall (mit der t-Verteilung und den angegebenen Freiheitsgraden df) und das Profil-Intervall. Lässt sich das Profil-Intervall nicht berechnen, steht ein Satz, und es bleibt das Wald-Intervall.
• Das Modell: n, df, die Quadratsumme der Reste (RSS), die Restabweichung σ und AIC.
• Das Bild zeigt die Punkte und die angepasste Kurve; eine Tabelle zeigt die angepassten Werte und die Residuen.

Wenn die Rechnung scheitert

Findet die Rechnung kein Ergebnis (keine Konvergenz), zeigt Statable keine Zahlen, sondern einen Satz. Dann passt die Formel vermutlich nicht zu den Daten, oder die Startwerte reichen nicht. Eine Gerade als Michaelis-Menten-Kurve anzupassen scheitert zum Beispiel.

Falle: Was die Zahlen nicht sagen

• Es gibt kein R². Bei nichtlinearen Modellen ist das scheinbare R² nicht so zu lesen wie bei der linearen Regression; darum gibt Statable keines an.
• Die Formel muss sachlich begründet sein. Dass eine Kurve gut passt, belegt noch nicht, dass der Zusammenhang so verläuft.
• Die Rechnung findet ein lokales Optimum. Mit anderen Startwerten kann eine andere Lösung herauskommen.
• Aussagen für x außerhalb des Bereichs der Daten sind nicht gedeckt: Dort kann die Kurve ganz anders verlaufen.
• Die p-Werte und Intervalle sind Näherungen. Das Wald-Intervall und das Profil-Intervall können deutlich voneinander abweichen. Die Residuen sollten angesehen werden.
• Meldet R bei der Rechnung eine Warnung, steht sie im Ergebnis; die Zahlen sind dann mit Vorsicht zu lesen.

Voraussetzungen und Grenzen

• Die Fälle sind voneinander unabhängig, und die Streuung um die Kurve ist ungefähr gleich. Die Tabelle der Residuen hilft beim Prüfen.
• Es braucht mehr Fälle und mehr verschiedene x-Werte als Parameter.

Ergebnis berichten

nichtlineare Regression (Michaelis-Menten), a = 212,68, b = 0,06, RSS = 1195,45, df = 10

Typische Beispiele

• Wie schnell läuft eine Reaktion in Abhängigkeit von der Konzentration (Michaelis-Menten)?
• Wie wächst ein Bestand mit der Zeit (exponentiell oder logistisch)?

Für Fachleute

R (stats): nls(formel, start = s, control = nls.control(maxiter = 200, tol = 1e-7, minFactor = 1/4096)). Die Startwerte s kommen automatisch aus linearen Hilfsregressionen. Das Profil-Intervall ist confint() auf dem nls-Modell. Geprüft an Puromycin (Michaelis-Menten), ChickWeight (exponentiell), DNase (logistisch) und cars (Potenz) gegen unabhängige Rechnungen: Parameter, Standardfehler und Quadratsumme stimmen überein.