A relação é uma curva e não uma reta? (regressão não linear, quatro fórmulas fixas)

Em resumo

A relação é uma curva e não uma reta? A regressão não linear ajusta uma de quatro fórmulas fixas: Michaelis-Menten, exponencial, logística ou potência. O alvo é um número, previsto a partir de um só número. A fórmula tem de ser justificada pela área científica.

Como funciona no Statable

«Nova análise» e depois escolha o cartão «É possível prever alguma coisa?».
Escolha a coluna alvo e exatamente uma coluna preditora com números.
«Mais opções» → «Modelo» → «Regressão não linear (fórmula fixa)» e depois escolha a fórmula.
O resultado mostra os parâmetros com intervalos; não há R².

As quatro fórmulas

Michaelis-Menten: y = a · x / (b + x). A curva sobe e aproxima-se de um limite superior a (saturação).
Exponencial: y = a · exp(b · x). Crescimento ou descida com a mesma percentagem a cada passo.
Logística: y = a / (1 + exp((c − x) / b)). Uma curva em forma de S com limite superior a e ponto médio em c.
Potência: y = a · x^b. A curva sobe ou desce com a potência b.

Não há fórmula livre. A fórmula é uma decisão de conteúdo e não deve ser escolhida consoante a que se ajusta melhor.

Aspeto da tabela

Uma linha por caso, uma coluna objetivo com números e exatamente uma coluna de preditor com números. As linhas com uma lacuna numa das duas colunas são deixadas de fora; o número é mostrado no resultado. Consoante a fórmula, o cálculo precisa de valores positivos para os valores iniciais: em Michaelis-Menten e potência, x e y maiores do que 0; em exponencial e logística, y maior do que 0. Caso contrário, o Statable bloqueia o cálculo e diz em quantos casos isso não se verifica.

Ler o resultado

Para cada parâmetro (a, b, com a fórmula logística também c) são mostrados a estimativa b, SE, t, p e dois intervalos a 95%: o intervalo de Wald (com a distribuição t e os graus de liberdade df indicados) e o intervalo de perfil. Se o intervalo de perfil não puder ser calculado, uma frase di-lo e fica o intervalo de Wald.
O modelo: n, df, a soma de quadrados dos resíduos (RSS), o desvio-padrão dos resíduos σ e AIC.
A imagem mostra os pontos e a curva ajustada; uma tabela mostra os valores ajustados e os resíduos.

Quando o cálculo falha

Se o cálculo não encontrar resultado (sem convergência), o Statable não mostra números mas uma frase. Então a fórmula provavelmente não se ajusta aos dados ou os valores iniciais não chegam. Por exemplo, ajustar uma reta como curva de Michaelis-Menten falha.

Armadilha: o que os números não dizem

Não há R². Nos modelos não lineares, o R² aparente não se lê como na regressão linear; por isso o Statable não o indica.
A fórmula tem de ser justificada pelo conteúdo. O facto de uma curva se ajustar bem ainda não prova que a relação seja assim.
O cálculo encontra um ótimo local. Com outros valores iniciais pode resultar outra solução.
As afirmações para x fora do intervalo dos dados não são cobertas: a curva pode seguir aí um percurso bem diferente.
Os valores p e os intervalos são aproximações. O intervalo de Wald e o intervalo de perfil podem diferir consideravelmente. Os resíduos devem ser examinados.
Se o R comunicar um aviso durante o cálculo, este é mostrado no resultado; os números devem então ser lidos com cautela.

Pressupostos e limites

Os casos são independentes entre si e a dispersão em torno da curva é aproximadamente igual. A tabela dos resíduos ajuda a verificá-lo.
São necessários mais casos e mais valores x diferentes do que parâmetros.

Comunicar o resultado

regressão não linear (Michaelis-Menten), a = 212,68, b = 0,06, RSS = 1195,45, df = 10

Exemplos típicos

Com que rapidez decorre uma reação em função da concentração (Michaelis-Menten)?
Como cresce um stock ao longo do tempo (exponencial ou logisticamente)?

Para especialistas

R (stats): nls(formula, start = s, control = nls.control(maxiter = 200, tol = 1e-7, minFactor = 1/4096)). Os valores iniciais s vêm automaticamente de regressões lineares auxiliares. O intervalo de perfil é confint() sobre o modelo nls. Verificado com Puromycin (Michaelis-Menten), ChickWeight (exponencial), DNase (logística) e cars (potência) contra cálculos independentes: os parâmetros, os erros-padrão e a soma de quadrados dos resíduos coincidem.