¿La relación es una curva y no una recta? (regresión no lineal, cuatro fórmulas fijas)

En resumen

¿La relación es una curva y no una recta? La regresión no lineal ajusta una de cuatro fórmulas fijas: Michaelis-Menten, exponencial, logística o potencia. El objetivo es un número, predicho a partir de un solo número. La fórmula debe estar justificada por la materia.

Cómo funciona en Statable

«Análisis nuevo» y luego elige la tarjeta «¿Se puede predecir algo?».
Elige la columna objetivo y exactamente una columna predictora con números.
«Más opciones» → «Modelo» → «Regresión no lineal (fórmula fija)» y luego elige la fórmula.
El resultado muestra los parámetros con intervalos; no hay R².

Las cuatro fórmulas

Michaelis-Menten: y = a · x / (b + x). La curva sube y se acerca a un límite superior a (saturación).
Exponencial: y = a · exp(b · x). Crecimiento o descenso del mismo porcentaje en cada paso.
Logística: y = a / (1 + exp((c − x) / b)). Una curva en forma de S con límite superior a y punto medio en c.
Potencia: y = a · x^b. La curva sube o baja con la potencia b.

No hay fórmula libre. La fórmula es una decisión de contenido y no debe elegirse según cuál se ajuste mejor.

Así se ve la tabla

Una fila por caso, una columna objetivo con números y exactamente una columna de predictor con números. Las filas con un hueco en una de las dos columnas se dejan fuera; el número se muestra en el resultado. Según la fórmula, el cálculo necesita valores positivos para los valores iniciales: en Michaelis-Menten y potencia, x e y mayores que 0; en exponencial y logística, y mayor que 0. Si no, Statable bloquea el cálculo y dice en cuántos casos no se cumple.

Cómo leer el resultado

Para cada parámetro (a, b, y con la fórmula logística también c) se muestran la estimación b, SE, t, p y dos intervalos del 95 %: el intervalo de Wald (con la distribución t y los grados de libertad df indicados) y el intervalo de perfil. Si el intervalo de perfil no se puede calcular, una frase lo dice y queda el intervalo de Wald.
El modelo: n, df, la suma de cuadrados de los residuos (RSS), la desviación típica de los residuos σ y AIC.
La imagen muestra los puntos y la curva ajustada; una tabla muestra los valores ajustados y los residuos.

Cuando el cálculo falla

Si el cálculo no encuentra resultado (sin convergencia), Statable no muestra números sino una frase. Entonces probablemente la fórmula no encaja con los datos o los valores iniciales no bastan. Por ejemplo, ajustar una recta como curva de Michaelis-Menten falla.

Trampa: lo que los números no dicen

No hay R². En los modelos no lineales el R² aparente no se lee como en la regresión lineal; por eso Statable no lo da.
La fórmula debe estar justificada por el contenido. Que una curva se ajuste bien aún no demuestra que la relación sea así.
El cálculo encuentra un óptimo local. Con otros valores iniciales puede salir otra solución.
Las afirmaciones para x fuera del rango de los datos no están cubiertas: la curva puede seguir allí un curso muy distinto.
Los valores p y los intervalos son aproximaciones. El intervalo de Wald y el intervalo de perfil pueden diferir considerablemente. Hay que examinar los residuos.
Si R informa de una advertencia durante el cálculo, se muestra en el resultado; los números deben leerse entonces con cautela.

Requisitos y límites

Los casos son independientes entre sí y la dispersión alrededor de la curva es aproximadamente igual. La tabla de residuos ayuda a comprobarlo.
Se necesitan más casos y más valores x distintos que parámetros.

Informar del resultado

regresión no lineal (Michaelis-Menten), a = 212,68, b = 0,06, RSS = 1195,45, df = 10

Ejemplos típicos

¿A qué velocidad transcurre una reacción según la concentración (Michaelis-Menten)?
¿Cómo crece una existencia a lo largo del tiempo (exponencial o logísticamente)?

Para especialistas

R (stats): nls(formula, start = s, control = nls.control(maxiter = 200, tol = 1e-7, minFactor = 1/4096)). Los valores iniciales s salen automáticamente de regresiones lineales auxiliares. El intervalo de perfil es confint() sobre el modelo nls. Comprobado con Puromycin (Michaelis-Menten), ChickWeight (exponencial), DNase (logística) y cars (potencia) frente a cálculos independientes: los parámetros, los errores típicos y la suma de cuadrados de los residuos coinciden.