La relazione è una curva anziché una retta? (regressione non lineare, quattro formule fisse)

In breve

La relazione è una curva anziché una retta? La regressione non lineare adatta una di quattro formule fisse: Michaelis-Menten, esponenziale, logistica o potenza. L’obiettivo è un numero, previsto da un solo numero. La formula deve essere giustificata dalla materia.

Come funziona in Statable

«Nuova analisi», poi scegli la scheda «Si può prevedere qualcosa?».
Scegli la colonna obiettivo e esattamente una colonna predittiva con numeri.
«Altre opzioni» → «Modello» → «Regressione non lineare (formula fissa)», poi scegli la formula.
Il risultato mostra i parametri con intervalli; non c’è R².

Le quattro formule

Michaelis-Menten: y = a · x / (b + x). La curva sale e si avvicina a un limite superiore a (saturazione).
Esponenziale: y = a · exp(b · x). Crescita o calo della stessa percentuale a ogni passo.
Logistica: y = a / (1 + exp((c − x) / b)). Una curva a forma di S con limite superiore a e punto medio in c.
Potenza: y = a · x^b. La curva sale o scende con la potenza b.

Non esiste una formula libera. La formula è una decisione di merito e non va scelta in base a quale si adatta meglio.

Com’è fatta la tabella

Una riga per caso, una colonna obiettivo con numeri ed esattamente una colonna predittore con numeri. Le righe con una lacuna in una delle due colonne vengono tralasciate; il numero è mostrato nel risultato. A seconda della formula, il calcolo richiede valori positivi per i valori iniziali: per Michaelis-Menten e potenza x e y maggiori di 0, per esponenziale e logistica y maggiore di 0. Altrimenti Statable blocca il calcolo e dice in quanti casi ciò non vale.

Leggere il risultato

Per ogni parametro (a, b, con la formula logistica anche c) vengono mostrati la stima b, SE, t, p e due intervalli al 95%: l’intervallo di Wald (con la distribuzione t e i gradi di libertà df indicati) e l’intervallo di profilo. Se l’intervallo di profilo non può essere calcolato, una frase lo dice e resta l’intervallo di Wald.
Il modello: n, df, la somma dei quadrati dei residui (RSS), la deviazione standard dei residui σ e AIC.
L’immagine mostra i punti e la curva adattata; una tabella mostra i valori adattati e i residui.

Quando il calcolo fallisce

Se il calcolo non trova alcun risultato (nessuna convergenza), Statable non mostra numeri ma una frase. Allora probabilmente la formula non si adatta ai dati oppure i valori iniziali non bastano. Per esempio, adattare una retta come curva di Michaelis-Menten fallisce.

Trappola: ciò che i numeri non dicono

Non c’è R². Nei modelli non lineari l’R² apparente non si legge come nella regressione lineare; per questo Statable non lo dà.
La formula deve essere giustificata nel merito. Che una curva si adatti bene non dimostra ancora che la relazione abbia questo andamento.
Il calcolo trova un ottimo locale. Con altri valori iniziali può risultare un’altra soluzione.
Le affermazioni per x al di fuori dell’intervallo dei dati non sono coperte: la curva può avere lì un andamento del tutto diverso.
I valori p e gli intervalli sono approssimazioni. L’intervallo di Wald e l’intervallo di profilo possono differire in modo considerevole. I residui vanno esaminati.
Se R segnala un avviso durante il calcolo, questo viene mostrato nel risultato; i numeri vanno allora letti con cautela.

Requisiti e limiti

I casi sono indipendenti tra loro e la dispersione attorno alla curva è all’incirca uguale. La tabella dei residui aiuta a verificarlo.
Servono più casi e più valori x diversi dei parametri.

Riportare il risultato

regressione non lineare (Michaelis-Menten), a = 212,68, b = 0,06, RSS = 1195,45, df = 10

Esempi tipici

Quanto velocemente procede una reazione in funzione della concentrazione (Michaelis-Menten)?
Come cresce una scorta nel tempo (in modo esponenziale o logistico)?

Per specialisti

R (stats): nls(formula, start = s, control = nls.control(maxiter = 200, tol = 1e-7, minFactor = 1/4096)). I valori iniziali s derivano automaticamente da regressioni lineari ausiliarie. L’intervallo di profilo è confint() sul modello nls. Verificato su Puromycin (Michaelis-Menten), ChickWeight (esponenziale), DNase (logistica) e cars (potenza) con calcoli indipendenti: parametri, errori standard e somma dei quadrati dei residui concordano.